Производная функции

При изучении различных материальных процессов, например движения тела, течения химических реакций, экономических процессов (спроса и затрат), мы встречаемся с задачей определения скорости изменения соответствующих величин. В большинстве случаев такие задачи не могут быть решены с помощью элементарной математики. Для их решения пользуются дифференциальным исчислением.

Итак, рассмотрим более детально задачу о прямолинейном движении некоторого твердого тела.

Предположим, что между пройденным телом путем и временами, за который пройден этот путь, существует зависимость S = f(t). (5.1)

Предположим также, что движение началось в т.0 при t=0 (рис.1).

За время t тело прошло путь S = f(t) и оказалось в точке А, а в следующий момент времени t+Δt оно оказалось в точке В. Обозначим путь, который прошло тело за время t+Δt, через S₁. Итак, за время Δt тело прошло путь S₁-S= f(t+ Δt) - f(t) Тогда средняя скорость движения тела на отрезке АВ будет определяться по формуле (5.2)

. (5.2)

Но эта скорость не будет мгновенной скоростью в момент t. Если говорят, например, что поезд двигается со скоростью 100 км/ч, то это не означает, что он имеет такую скорость все время, понятно, что в начале движения и в конце его скорость меньше. Чем меньше промежуток времени, на котором измеряется средняя скорость, тем ближе результат измерения к фактической скорости в момент времени t. Итак, мгновенная скорость тела в момент времени t будет равна . (5.3)

К такому же результату мы придем, если будем определять скорость химической реакции, скорость выпаривания вещества и т.п. Итак, разные с физической точки зрения задачи приводят к необходимости выполнения одинаковых с математической точки зрения действий, а именно, вычисления предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последний стремится к нулю.

Приращением функции f(х) в точке х₀ называется разность между значением функции в точке и ее значением в точке х₀

.

Определение: производной функции у=f(х) в точке х называется предел отношения приращения функции Δу в точке х к приращению аргумента Δх, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю .

Дифференцирование функции f(х) - это операция нахождения ее производной.