Краткая теория. Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, расстояние между которыми неизменно

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, расстояние между которыми неизменно. Вращательным движением твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела описывают окружности вокруг некоторой оси вращения. Если тело может вращаться вокруг неподвижной оси, то изменение его движения зависит от действующего на тело момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси называется векторная физическая величина, численно равная произведению силы на её плечо , т.е. кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила:

 

(1)

 

Вращательное движение твердого тела характеризуется угловой скоростью и угловым ускорением .

Угловой скоростью вращения называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени и направленный вдоль оси вращения так, что из его конца вращение видно происходящим против часовой стрелки:

 

(2)

 

Угловым ускорением называется вектор , равный первой производной от угловой скорости по времени:

(3)

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют скалярную физическую величину, численно равную произведению массы этой точки на квадрат расстояния её до оси вращения:

 

(4)

 

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерций материальных точек:

 

(5)

 

Зависимость углового ускорения от момента

действующей на тело силы и момента инерции

тела выражается вторым законом Ньютона

для вращательного движения (основным

законом динамики вращательного движения):

 

Рис. 1 (6) и читается:

 

Угловое ускорение тела при его вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту М силы, действующей на тело, и обратно пропорционально моменту инерции І тела относительно этой оси.

Если сопоставить законы поступательного и вращательного движений, легко сделать вывод, что момент инерции во вращательном движении выполняет ту же роль, что и масса в поступательном движении, так момент инерции характеризует инертность тела во вращательном движении.

Вращающееся тело обладает кинетической энергией:

 

(7)

 

Момент инерции махового колеса и силу трения вала в опоре можно определить при помощи прибора, изображенного на рисунке 2.

 

Рис. 2

 

 

Прибор состоит из махового колеса B, укрепленного на валу. Вал установлен на шарикоподшипниках и . Маховое колесо приводится во вращательное

движение грузом Р. Груз Р на какой - то высоте обладает потенциальной энергией , где масса груза.

Если предоставить возможность грузу падать, то потенциальная энергия груза перейдет в кинетическую энергию поступательного движения груза, кинетическую энергию вращательного движения прибора и в работу

по преодолению силы трения в опоре. По закону сохранения энергии

 

(8)

 

Движение груза - равноускоренное без начальной скорости, поэтому ускорение а и скорость соответственно равны:

 

; , (9)

 

где t - время опускания груза с высоты h_1.

Найдем угловую скорость махового колеса по формуле:

 

, (10)

где - радиус вала, на который намотана нить.

Сила трения вычисляется следующим образом. После опускания груза колесо, вращаясь по инерции, поднимает груз на высоту , и потенциальная энергия груза на высоте будет равна .

Уменьшение потенциальной энергии при подъеме груза равно работе по преодолению силы трения в опорах и , т. е.

 

,

отсюда

(11)

Подставляя в формулу (8) значения V, и из (9), (10) и (11) получим окончательное выражение для вычисления момента инерции махового колеса:

 

(12)