Критерий согласия хи-квадрат Пирсона

Проверяем гипотезу H , состоящую в том, что исходная выборка получена из нормального распределения. Проверка основана на критерии согласия хи-квадрат и ее идея заключается в следующем.

Предположим, что Х имеет нормальное распределение и вычислим числа p - вероятности попадания значения случайной величины Х в интервалы . При этом в качестве m и s используем их оценки. Если наше предположение о нормальности верно, а объем выборки достаточно велик, то относительные частоты h должны быть близки к числам p . Следовательно, близость чисел p и h служит доводом в пользу H , а значимое (существенное) различие между ними – доводом против H .

Дадим точное описание процедуры проверки гипотезы H .

а) Вычисляем вспомогательные величины z .

б) Вычисляем p , исходя из того, что гипотеза H верна.

Если H верна, то вероятности p можно найти по формуле

. (6)

где (z) - функция Лапласа или функция распределения нормированного нормального распределения, ее значения находим в соответствующей таблице.

в) Вычисляем значение критерия хи-квадрат по формуле

г) Находим критическое значение . Для этого выберем число a, называемое уровнем значимости (обычно 0.05 или 0.025). Затем из таблицы квантилей распределения по двум входным параметрам – числу b=1 - a и числу степеней свободы m находим b -квантиль. Это и есть искомое критическое значение. Обозначим его через . В нашем случае m=к–3.

д) Применяем следующее правило:

если > , то гипотеза H отвергается.

если ≤ , то гипотеза H принимается.

Замечание. Критерий является приближенным. Его точность возрастает с увеличением N. При этом число k также должно увеличиваться, например, можно определять k по формуле . На практике точность критерия считается удовлетворительной, если выполнены условия

N ³ 50 и N ³ 5, i=1,…k. (7)

Если же условие N ³ 5 не выполнено для какого-то из интервалов, то этот интервал нужно объединить с тем из двух соседних интервалов, у которого частота меньше. При этом число интервалов k уменьшится на единицу и две частоты N нужно заменить новой частотой.