Используя теоремы 1 – 5 о пределах функций и определение непрерывности

функции , если в этой точке не является непрерывной.

Разрывы классифицируются следующим образом:

1) точка называется точкой устранимогоразрыва, если существует , но либо не определена в этой точке, либо . Если положить , то функция станет непрерывной в точке , т. е. разрыв будет устранён.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию .

Функция - элементарная, значит, непрерывна всюду, где определена, именно во всех точках действительной оси, кроме x = 3. Заметим, что при , поэтому (см.п.1), т. е. существует , но не определена при . Это означает, что функция имеет в точке устранимый разрыв. Функция, определённая таким образом: - является непрерывной для всех R.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Функция определена, а значит, непрерывна всюду, за исключением точки . В п. 3 было отмечено, что , но , поэтому точка - точка устранимого разрыва. Доопределив функцию при другим образом, полагая , устраним разрыв и получим функцию, непрерывную при всех .

2) точка называется точкой разрыва I рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу односторонние пределы: . Величина ½ ½ называется скачком функции в точке .

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию (рис. 5)

Так как , а ,

то точка является для данной функции точкой разрыва I рода.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию .

Данная функция определена, а значит, непрерывна при всех . Вычислим односторонние пределы в этой точке. Вначале отметим, что , а . Следовательно, y

.

. 1 x

Это означает, что точка

является точкой разрыва I рода

для функции (рис. 9). Рис. 9

3) точка называется точкой разрыва II рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию .

В точках данная функция не определена. Чтобы исследовать характер разрыва функции в этих точках, вычислим односторонние пределы. Пусть , тогда разность стремится к 0, оставаясь положительной, поэтому . Аналогично . Следовательно, точка - точка разрыва II рода. Пусть . Тогда , и , следовательно, , а , то есть точка - также точка разрыва II рода функции .

Пример 6. Исследовать на непрерывность функцию .

Эта функция непрерывна в любой точке . Прежде чем вычислить и , заметим, что , а . Тогда получим ; . Таким образом, левый предел в точке бесконечен и, значит, является точкой разрыва II рода слева.

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию .

Функция не определена при . Обозначим , тогда . Этот предел, как было отмечено в п.1, не существует, поэтому точка является для функции точкой разрыва II рода.

Упражнения. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:

54) . 55) 56) .

57) . 58) . 59) .

60) 61) . 62)

63) 64) . 65) .

66) . 67) . 68) . 69) .

70) . 71) . 72) .

Ответы

54. - разрыв II рода. 55. - устранимый разрыв, y(1)=1. 56. - устранимый разрыв, y(1) = . 57. - разрыв II рода. 58. - разрыв I рода. 59. - разрыв I рода. 60. Функция непрерывна. 61. - разрыв II рода.

62. -разрыв I рода. 63. - разрыв II рода справа.

64. - устранимый разрыв, y(1) = 0,8; 65. - устранимый разрыв, y(0)=1;

- разрыв II рода. - разрыв II

рода.

66. - разрыв II рода. 67. - разрыв II рода справа;

68. - разрыв II рода. - разрыв II рода слева.

69. - разрыв I рода. 70. - устранимый разрыв, y(0)=0,5.

71. - разрыв I рода. 72. -разрыв II рода.