Студопедия — Используя теоремы 1 – 5 о пределах функций и определение непрерывности
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Используя теоремы 1 – 5 о пределах функций и определение непрерывности






функции в точке, нетрудно доказать теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.

Теорема. Пусть функции , непрерывны в точке . Тогда функции ± , · и непрерывны в этой точке (последняя при ).

Все элементарные функции, то есть такие, которые можно задать одним анали-

тическим выражением, полученным из простейших элементарных функций с помощью четырёх арифметических действий и операции составления сложной функции, последовательно применённых конечное число раз, непрерывны на области определения, то есть в каждой точке, в которой определены. К простей-шим элементарным функциям относятся степенная, показательная, логарифми-ческая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Функции , , , и т.д. - элементарные. Каждая из них непрерывна всюду, где определена.

Как было сказано выше, точка называется точкой разрыва

функции , если в этой точке не является непрерывной.

Разрывы классифицируются следующим образом:

1) точка называется точкой устранимогоразрыва, если существует , но либо не определена в этой точке, либо . Если положить , то функция станет непрерывной в точке , т. е. разрыв будет устранён.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию .

Функция - элементарная, значит, непрерывна всюду, где определена, именно во всех точках действительной оси, кроме x = 3. Заметим, что при , поэтому (см.п.1), т. е. существует , но не определена при . Это означает, что функция имеет в точке устранимый разрыв. Функция, определённая таким образом: - является непрерывной для всех R.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Функция определена, а значит, непрерывна всюду, за исключением точки . В п. 3 было отмечено, что , но , поэтому точка - точка устранимого разрыва. Доопределив функцию при другим образом, полагая , устраним разрыв и получим функцию, непрерывную при всех .

2) точка называется точкой разрыва I рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу односторонние пределы: . Величина ½ ½ называется скачком функции в точке .

 

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию (рис. 5)

Так как , а ,

то точка является для данной функции точкой разрыва I рода.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию .

Данная функция определена, а значит, непрерывна при всех . Вычислим односторонние пределы в этой точке. Вначале отметим, что , а . Следовательно, y

.

. 1 x

Это означает, что точка

является точкой разрыва I рода

для функции (рис. 9). Рис. 9

3) точка называется точкой разрыва II рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

 

Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию .

В точках данная функция не определена. Чтобы исследовать характер разрыва функции в этих точках, вычислим односторонние пределы. Пусть , тогда разность стремится к 0, оставаясь положительной, поэтому . Аналогично . Следовательно, точка - точка разрыва II рода. Пусть . Тогда , и , следовательно, , а , то есть точка - также точка разрыва II рода функции .

Пример 6. Исследовать на непрерывность функцию .

Эта функция непрерывна в любой точке . Прежде чем вычислить и , заметим, что , а . Тогда получим ; . Таким образом, левый предел в точке бесконечен и, значит, является точкой разрыва II рода слева.

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию .

Функция не определена при . Обозначим , тогда . Этот предел, как было отмечено в п.1, не существует, поэтому точка является для функции точкой разрыва II рода.

Упражнения. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:

 

54) . 55) 56) .

57) . 58) . 59) .

60) 61) . 62)

 

63) 64) . 65) .

 

66) . 67) . 68) . 69) .

70) . 71) . 72) .

Ответы

54. - разрыв II рода. 55. - устранимый разрыв, y(1)=1. 56. - устранимый разрыв, y(1) = . 57. - разрыв II рода. 58. - разрыв I рода. 59. - разрыв I рода. 60. Функция непрерывна. 61. - разрыв II рода.

62. -разрыв I рода. 63. - разрыв II рода справа.

64. - устранимый разрыв, y(1) = 0,8; 65. - устранимый разрыв, y(0)=1;

- разрыв II рода. - разрыв II

рода.

66. - разрыв II рода. 67. - разрыв II рода справа;

68. - разрыв II рода. - разрыв II рода слева.

69. - разрыв I рода. 70. - устранимый разрыв, y(0)=0,5.

71. - разрыв I рода. 72. -разрыв II рода.

 

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 527. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия