Односторонние пределы
Введём понятие одностороннего (правого или левого) предела функции в данной точке a. Определение 1. Число b называется правым (левым) пределом функции Обозначаются односторонние пределы в точке x=a так:
В качестве примера рассмотрим ещё раз функцию (рис. 7)
Геометрическая иллюстрация этих выполняется неравенство Точно также для произвольного место неравенство Пример. Вычислить односторонние пределы функции Пусть Следовательно, Если
Поэтому
Теорема. Если функция Наоборот, если Для односторонних пределов верны все теоремы п. 2.
|
при 
, если для любого числа 
можно указать такой интервал 
, 
, что всюду внутри этого интервала будет выполняться неравенство 
.
или 
- правый предел
или 
- левый предел.
В пункте 1 было отмечено, что 
не существует, но вместе с тем очевидно, что если xcтремится к нулю, оставаясь отрицательным (то есть слева), то 
. А если x стремится к нулю справа (оставаясь положительным), то 
. 
утверждений – на рис. 7. Зададим 
, тогда для всех 
-1 0 1 x
, 
. 
при всех 
имеет Рис. 7
или 
.
в точках 
и 
.
(справа), тогда 
и 
.
, 
.
(слева), то 
и 
, поэтому
, 
. Очевидно, что 
не существует. Если
, то 
, но и при 
.
= 
= 
. Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке устанавливает следующая теорема.
имеет в точке 
как правый, так и левый пределы и если эти односторонние пределы равны одному и тому же числу 
, то эта функция имеет в точке 
, то 
