Односторонние пределы

Введём понятие одностороннего (правого или левого) предела функции в данной точке a.

Определение 1. Число b называется правым (левым) пределом функции при , если для любого числа можно указать такой интервал , , что всюду внутри этого интервала будет выполняться неравенство .

Обозначаются односторонние пределы в точке x=a так:

 

или - правый предел

 

или - левый предел.

В качестве примера рассмотрим ещё раз функцию (рис. 7)

В пункте 1 было отмечено, что не существует, но вместе с тем очевидно, что если xcтремится к нулю, оставаясь отрицательным (то есть слева), то . А если x стремится к нулю справа (оставаясь положительным), то .

Геометрическая иллюстрация этих утверждений – на рис. 7. Зададим , тогда для всех -1 0 1 x

выполняется неравенство , .

Точно также для произвольного при всех имеет Рис. 7

место неравенство или .

Пример. Вычислить односторонние пределы функции в точках и .

Пусть (справа), тогда и .

Следовательно, , .

Если (слева), то и , поэтому

, . Очевидно, что не существует. Если

, то , но и при .

Поэтому = = . Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке устанавливает следующая теорема.

 

Теорема. Если функция имеет в точке как правый, так и левый пределы и если эти односторонние пределы равны одному и тому же числу , то эта функция имеет в точке предел, равный .

Наоборот, если , то

Для односторонних пределов верны все теоремы п. 2.