Предел функции

Прежде чем дать общее определение предела функции, рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть . Рассмотрим таблицу значений этой функции вблизи точки x = 3.

 

x	2,94	2,96		3,02	3,04	3,06
	5,94	5,96	функция не определена	6,02	6,04	6,06

 

При x = 3функция не определена. Если же значения xвыбрать достаточно близкими к трём, то значения f (x)оказываются, как видно из таблицы, достаточно близкими к 6. Докажем это строго математически, а именно: покажем, что для любого , как бы мало оно ни было, можно указать такую окрестность точки x = 3, что всюду внутри неё, за исключением самой точки, будет выполняться неравенство .

Действительно, если , то , поэтому при . Таким образом, неравенство выполняется при всех , кроме .

 

y Если, например, мы хотим, чтобы зна-

чения f(x) отличались от 6 менее чем на

6+e , то должны рассматривать

. Аналогично при

6-e получим интервал (2,999; 3,001) и т.д.

Интервал можно построить

геометрически (рис. 1).

Итак, если значения аргумента x

x выбрать достаточно близкими к 3, но

Рис. 1 не равными 3, то значения функции будут сколь угодно мало отличаться от 6. Несмотря на то что рассматриваемая функция не определена при , естественно считать, что её предел при (x cтремящемся к 3) существует и равен 6:

.

 

Рассмотрим ещё один пример.

Пример 2. Пусть . Не рассуждая столь подробно, как в примере 1, отметим очевидный факт: чем ближе значения аргумента xк 2, тем ближе значения к 4, то есть, тем меньше абсолютная величина разности . Действительно, какое бы малое число y

мы ни взяли, всегда можно

указать такой интервал, содержащий

точку , что для всех для точек из этого интервала будет выполняться 4

неравенство . На рис. 2

при всех

. Так как ,

то полагая , можем x

утверждать, что если ,

то . Рис. 2

Таким образом, так же, как и в

примере 1, если значения x выбрать достаточно близкими к 2, то значения функции будут как угодно мало отличаться от 4, и число 4естественно назвать пределом функции при x, стремящемся к 2:

.

Перейдём к определению предела функции в точке.

 

Определение 1. Число b называется пределом функции при , если для любого положительного можно указать такой интервал, содержащий точку , что всюду внутри него, за исключением, быть может, самой точки , будет выполняться неравенство .

Другими словами, , если для любого найдётся зависящее от такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , справедливо следующее: .

 

Пример 3. Рассмотрим функцию , которая определена при всех . Составим таблицу её значений и построим график.

 

x							...	-1	-2	-3	-4	-10	-100
x-1 x		1	2	3	9	99	...		3	4	5	11	101

 

Исследуя таблицу и график (рис. 3), можно предположить, что с

возрастанием значения неограниченно приближаются к 1.

Чтобы доказать это, вычислим - расстояние от точки А на графике функции до прямой : .

Очевидно, если значение достаточно велико, найденное расстояние может быть меньше любого наперёд заданного числа. Действительно, при , при и т.д.

Вообще, для произвольно заданного , если (при всех или ).

y

 

1

x

x

 

Рис. 3

 

Дадим определение предела функции на бесконечности.

 

Определение 2. Число b называется пределом функции при (), если для любого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число Атакое, что для всех (или ) справедливо неравенство .

В рассмотренном примере 3 и . Кроме того, ясно, что .

Заметим, что не для всякой функции существует или . Например, при значения функции (рис. 4)

или неограниченно растут при (), или неограниченно убывают (при ).

Поэтому нельзя указать никакого числаb, y

к которому стремились бы значения

этой функции при .

Другой пример. Рассмотрим функцию, 0 x

определённую следующим образом:

Рис. 4

График этой функции дан на рис. 5. y

Когда значения аргумента x стремятся к 0,

оcтаваясь отрицательными, соответствую- 1

щие значения функции приближа-

ются к (-1). Когда же значения аргумен- -1 0 1 x

та xприближаются к 0, оставаясь поло-

жительными, соответствующие значения -1

функции стремятся к 1. При этом

. Очевидно, что указать какое- Рис. 5

либо число, к которому стремились бы

все значения при , нельзя. Поэтому для данной функции не существует. Хотя предел этой функции в любой другой точке вычислить можно: к примеру или .

Точно так же нельзя указать такое число b, к которому бы стремились все значения функции (рис. 6) при неограниченном возрастании (при ), так как величина совершает гармонические колебания с постоянной амплитудой, всё время изменяясь от (-1) до (+1). Поэтому не существует.

 

y

 

- 0 x

 

 

Рис. 6

Пример 4. Исходя из определения предела, доказать, что .

Зададим произвольное и найдём, при каких значениях xвыполняется

неравенство .

при всех . Таким образом, если

или , то , а это означает по определению 1, что .

 

Пример 5. Исходя из определения предела, доказать, что .

Зададим произвольное . . Отсюда следует, что если или , то . Таким образом, действительно, по определению 2.