Принцип замены бесконечно малыхОпределение 1. Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если . Пример 1. Функция - бесконечно мала (б.м.) в точках и , так как и . Функция б.м. при , так как . Пусть , то есть функции и - б.м. в точке .
Определение 2. Бесконечно малые в точке функции и называются эквивалентными, если . Эквивалентность обозначается так: ~ . Пример 2. Функции и б.м. при , кроме того, . Значит, ~ в точке . Пример 3. Функции , , - б.м. при , так как .
При этом ~ , так как . Однако бесконечно малые и эквивалентными не являются: . Раскрытие неопределённости вида во многих случаях упрощает следующее утверждение:
Если ~ и ~ при (при ) и существует , то существует и ,
причём . Это утверждение называется принципом замены бесконечно малых.
Можно показать, что , , , , ,
, .
Поэтому при sin t ~ t, tg t ~ t, arcsin t ~ t, arctg t ~ t ~ t, ln (1+t)~ t, ~ . Замечание. Равенство называется первым замечательным пределом. Пример 4. Найти . Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными б.м.: tg 3x ~ 3x, sin 4x ~ 4x. Тогда получим . Пример 5. Найти . Так как () ~ , ~ () при x®0, то .
Пример 6. Найти . Заметим, что , поэтому = ~ ~ , а ~ при . Отсюда . Пример 7. Найти . , но, чтобы заменить бесконечно малые на эквивалентные им, введём другую переменную: или . Тогда ; . Теперь имеем .
|