Второй замечательный предел

Можно показать, что функция при имеет предел, причём .

Этот предел обозначают буквой е; то есть е = 2,71828... - - иррациональное число, определённое равенством

. Это равенство называется вторым замечательным пределом.

Если в этом пределе сделать замену переменной, полагая , то получим

.

Заметим, что , а , поэтому второй замечательный предел представляет собой неопределённость вида . С его помощью находятся многие другие пределы.

Пример 1. Найти .

Сделаем замену переменной: . Тогда

.

Пример 2. Найти .

Так как , то при функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконеч-ности, то есть данный предел является неопределённостью вида , а поэтому при его вычислении можно использовать второй замечательный предел.

Преобразуем функцию следующим образом:

.

Теперь

,

так как , то .

Пример 3. Найти .

Так как = 1, и , то преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел:

.

Такое преобразование называется выделением целой части (она равна единице) неправильной рациональной дроби.

После этого имеем

= = ,

так как

.

 

 

Пример 4. Найти .

, поэтому данный предел неопределённостью не является и

= =1.

 

Пример 5. Найти .

= , поэтому данный предел также неопределённостью не является и =0, а = + ¥.

(Функция стремится к нулю, если , и неограниченно возрастает, если ).

 

Упражнения. Используя замечательные пределы, принцип замены и таблицу эквивлентных б.м., найти пределы функций.

33) , 34) , 35) ,

 

36) , 37) , 38) ,

 

39) , 40) , 41) ,

 

42) , 43) , 44) ,

 

45) , 46) , 47) ,

 

48) , 49) , 50) ,

 

51) , 52) , 53) .

Ответы

33.2	34.25	35.¥	36.14	37.0,125	38.0	39.-1,75
40.-10	41.48	42.-2	43. –0,9	44. 0,5	45. 0	46. 3
47.	48. е	49. е	50.	51.	52.	53.