ПОНЯТИЕ ОРИГИНАЛА

 

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного аргумента , которая удовлетворяет следующим условиям:

1) должна быть кусочно-непрерывной при (то есть должна быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва рода).

2) при . (Это означает, что нас не интересует предыстория процесса).

3) При возрастании модуль может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции: т.е. существуют такие постоянные , , что для всех выполняется неравенство:

.

Число называется показателем роста , для ограниченных оригиналов можно, очевидно, принять .

С точки зрения физических приложений условий 1) и 3) не нуждаются в пояснениях – они, очевидно, выполняются для большинства функций , описывающих физические процессы ( интерпретируется как время). Условие 2), на первый взгляд, кажется искусственным, однако, следует иметь в виду, что операторный метод приспособлен к задачам, приводящим к решению дифференциальных уравнений с данными начальными условиями. В таких задачах вся информация о ходе процесса до момента начала наблюдения, за которой, конечно, можно принять момент , содержится в начальных условиях. Таким образом, и условие 2) физически, вполне, естественно.

Простейшей функцией – оригиналом является, так называемая, единичная функция Хевисайда (рис.1.1):

T

 

 

Очевидно, умножение на гасит эту функцию для и оставляет без изменения для ; если функция удовлетворяет условиям 1) и 3) и не удовлетворяет 2), то произведение

будет удовлетворять условию 2), т.е. будет оригиналом (например, (рис.1.2)).

 

f(t)=sin(t)

 

Для простоты записи будем, как правило, опускать множитель , условившись, раз и навсегда, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных (например, вместо будем писать 1, вместо - просто и т.д.).

Пример: Проверить, являются ли функции , , оригиналами.

Решение: Функция является оригиналом, так как все условия выполнены: М = 3, ; функция не является оригиналом, так как в точке t = 3 имеет разрыв функции второго рода; функция не является оригиналом, так как

для любых M, s и t > 0.