Функции,
которые не стремятся к нулю при
, можно считать изображениями лишь в совершенно условном смысле. Эти условные изображения и соответствующие им оригиналы, так называемые импульсные функции, были введены Дираком и оказались полезными в ряде прикладных задач, в которых приходиться иметь дело с величинами, имеющими характер мгновенного толчка.
Рассмотрим функцию
, график которой приведен на рис.6.1.

Она представляет величину, которая действует лишь на отрезке
, где имеет постоянное значение
, суммарный эффект ее действия равен
.

Предположим теперь, что
; семейство функций
, очевидно при этом расходится, но мы введем условную функцию
, которую будем считать пределом такого семейства,
,
и называть импульсной функцией нулевого порядка, или короче,
- функцией. Импульсная функция
равна нулю всюду, кроме точки
, где она равна
и, тем не менее, для нее считается справедливым соотношение
,
предельное для такого же соотношения с функцией
.
Таким образом,
- функция представляет собой условное сокращенное образование для вполне определенного предельного процесса, который часто рассматривается в физике: бесконечно большая величина, действующая в бесконечно малый промежуток времени с суммарным эффектом, равным 1. Введение этой функции сильно упрощает вычисления, связанные с таким предельным процессом. Дельта – функция относится к обобщенным функциям.
Условимся считать, что изображение
- функции получается как предельное для изображения функции:
, которое
по теореме запаздывания равно

Переходя к пределу при
, получим (условно)

Полученный результат можно «подкрепить» следующими соображениями.
На рис.6.1 изображены пунктиром график интеграла функции 
.
Из этого графика видно, что
при
стремится к функции
, так что положим
. Но тогда
, а так как
, то по теореме дифференцирования оригиналов снова получаем
Значение оригинала при
, участвующие в этой теореме, считаем равным нулю на том «основании», что оно получается как предельное при
из значений
; формальное применение указанной теоремы, где мы должны положить
, привело бы к неправильному результату. Удивляться этому не следует, ибо мы применяем теорему в ситуации, когда ее условия нарушаются.
Для любой функции-оригинала
по теореме о среднем получаем:
,
где
. Переходя здесь к пределу при
, считаем по определению

а если
разрывна при
, то
обозначает ее правое предельное значение.
В соответствии с этим снова получаем

Аналогично вводятся импульсные функции высших порядков:
- дельта-функция первого порядка,

- дельта-функция второго порядка,
и т.д.
