РЕШЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Методы операционного исчисления, основанные на идее использования преобразования Лапласа являются наиболее эффективным при решении основных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Неизвестная функция В первом случае преобразование Лапласа применяют к дифференциальному уравнению в частных производных по одной из двух независимых переменных в предположении, что другая остается неизменной. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения искомой функции интегрируется не операционным методом, а классическим. Возвращаясь от полученного изображения к оригиналу, находим решение поставленной задачи. Во втором случае к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно изображения искомой функции опять применяют преобразование Лапласа, но по другой независимой переменной. В результате получают алгебраическое уравнение, из которого находят «двукратное» изображение искомой функции. С помощью двух обратных преобразований Лапласа восстанавливается искомая функция Решение дифференциального уравнения, найденное с помощью двукратного преобразования Лапласа, не зависит от того, в какой последовательности применялись прямые и обратные преобразования. Удачно выбранный порядок в двукратном преобразовании может значительно облегчить решение задачи. Операционный метод удобнее применять при решении задач математической физики, если: начальные условия нулевые; существуют изображения для всех функций, входящих в уравнение; изображение искомого решения удовлетворяет следующим условиям: Пример 1 Найти решение уравнения Применим преобразование Лапласа по переменной Заданное уравнение примет вид: и решим методом Бернулли. Согласно этому методу, Осуществляя данную подстановку в уравнение, получим
Решая первое уравнение системы, получим
Подставим найденную функцию W во второе уравнение, будем иметь: Откуда Тогда Так как
Возвращаясь к оригиналу, получим Пример 2. Найти решение уравнения Сначала применим преобразование Лапласа по переменной Условие Применим преобразование Лапласа еще раз, но уже по переменной Это алгебраическое уравнение относительно «двукратного» изображения - Решим его: Возвращаясь к оригиналу по p, получаем: Возвращаясь к оригиналу по q, получаем: Пример 3. Найти формулу колеблющейся струны, закрепленной на концах, если начальные скорости ее точек равны нулю, а начальные отклонения заданы соотношением Подстановка задачи: найти решение уравнения Будем решать эту задачу методом Лапласа. Применим преобразование Лапласа по переменной t, предварительно переписав уравнение в виде Будем иметь Граничные условия при этом примут вид: Относительно изображения искомого решения – функции где Составим и решим характеристическое уравнение Тогда общее решение однородного уравнения примет вид
Для нахождения B и C вычислим:
и подставим в уравнение:
Тогда Для нахождения С1 и С2 удовлетворим граничным условиям: Очевидно, что С1= С2=0. Таким образом, имеем Возвращаясь к оригиналу, получим: Пример 4. Найти решение уравнения теплопроводности Применяя к уравнению теплопроводности преобразование Лапласа по переменной t, получим: Граничные условия при этом примут вид:
Перепишем полученное обыкновенное дифференциальное уравнение в виде: Его общее решение: где Составим и решим характеристическое уравнение: Тогда Второе слагаемое Оно имеет вид Тогда
Подставляя в уравнение, находим: Отсюда Тогда Удовлетворим граничным условиям: При этом Возвращаясь к оригиналу, получим:
|