С) Интегрирование оригинала.
Если и , то .
Т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на р. Доказательство: Заметим, что , . Пусть . Найдем изображение производной . В то же время Приравнивая правые части, получим , т.е. . Важнейшее свойство преобразования Лапласа- это то, что сложным действиям дифференцирования и интегрирования в пространстве оригиналов соответствуют простые алгебраические действия умножения и деления на р в пространстве изображений.
9с) Дифференцирование изображений. т.о. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (–t). Доказательство: , . Справа стоит интеграл Лапласа для функции ,т.е. Применяя теорему n раз получим Пример. Найти изображение степенной функции , используя 9с). Если , то получить формулу можно последовательным дифференцированием и умножением на – t.
. Повторяем умножение – дифференцирование. По индукции нетрудно получить формулу . С помощью Г функции формулу можно распространить на любые . .
С) Интегрирование изображений. Если сходится, то . Интегрирование изображения в пределах от р до соответствует делению оригинала на t. Доказательство: Этот интеграл – есть изображение по Лапласу функции . Пример. Найти изображение функции . Решение: , тогда
|