Для структурных групп, связанных со стойкой

Решать задачу кинематического анализа будем методом векторных контуров, суть которого изложена в подразд. 2.2.

Рассматриваться будут механизмы с входным звеном – кривошипом, но это никак не ограничивает общности, т.к. в итоговых выражениях входными кинематическими параметрами будут параметры движения входной кинематической пары и полученные результаты будут инвариантны по отношению к входному движению.

2.3.1. Трёхшарнирная структурная группа

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы с тремя вращательными кинематическими парами представлен на рис. 2.6. Механизм может иметь две сборки (рис. 2.7, 2.8). Сборку, показанную на рис. 2.6, 2.7, принято считать прямой, а сборку на рис. 2.8 – обратной. В общем случае ось коромысла ВС может быть смещена от точки C на величину CD (рис. 2.6). Сначала найдем решение для случая CD = 0 (см. рис. 2.7, 2.8). Все величины, помеченные ниже знаком “*” относятся к этому случаю.

Уравнение замкнутого векторного контура для обеих сборок:

 

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY и учитывая, что j₄ = 180^o = Const, а x_A = 1_l cos j₁, y_A = 1_l sin j₁ – координаты входного шарнира A в системе OXY, получим:

(2.9)

x_A + l ₂ cos j₂ + l ₃^* cos j₃ – l ₄ = 0;

y_A + l ₂ sin j₂ + l ₃^* sin j₃ = 0.

Для получения явного решения этой системы рассмотрим схемы на рис. 2.7, 2.8. В системе координат AXY запишем уравнения окружностей: первая радиусом АВ с центром в шарнире А, вторая радиусом СВ, с центром в шарнире С:

(2.10)

x² + y² = AB²,

(x² – AC) ² + y² = BC²,

Отсюда получаем координаты шарнира B в системе AX₁Y₁:

(2.11)

_,

где

Знак “+” соответствует прямой сборке, “–” – обратной.

Найденные x_B1, y_B1 преобразуем в систему OXY, как это описано в подразделе 2.4. В результате получим координаты шарнира B x_B, y_B. Угол для такого преобразования:

(2.12)

Тогда искомые углы поворота шатуна АВ и коромысла ВС:

(2.13)

 

 

При наличии смещения CD (на рис. 2.6 показано положительное смещение) угол поворота коромысла BC:

j₃ = j₃^* + ¡; (2.14)

где ¡ = arctg(CD / l ₃).

Для определения угловых скоростей шатуна AB w₂ и коромысла BC w₃ продифференцируем систему (2.9) по времени:

 

(2.15)

v_Ax – l ₂ w₂ sin j₂ – l ₃^* w₃ sin j₃ = 0;

v_Ay + l ₂ w₂ cos j₂ + l ₃^* w₃ cos j₃ = 0.

 

где: v_Ax = – l ₁ w₁ sin j₁, v_Ay = l ₁ w₁ cos j₁ – проекции скорости входного шарнира A на оси неподвижной системы координат OXY.

Система (2.15) линейна относительно w₂, w₃, и легко разрешима, например, по формулам Крамера.

Дифференцируя (2.15) по времени, получим систему уравнений для определения угловых ускорений шатуна e₂ и коромысла e₃:

(2.16)

где: _, – проекции ускорения входного шарнира А на оси системы OXY.

Система (2.17) также линейна относительно неизвестных e₂, e₃.

2.3.2. Структурная группа "шатун - ползун";

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы типа "шатун-ползун" представлен на рис. 2.9, 2.10. Ось X неподвижной системы координат OXY направлена параллельно оси ползуна. Смещение l ₃, показанное на рис. 2.9 будем считать положительным, а на рис. 2.10 – отрицательным.

Уравнение замкнутого векторного контура:

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY, получим:

 

(2.17)

l ₁ cos j₁ + l ₂ cos j₂ + l ₃ cos j₃ + l ₄ cos j₄ = 0;

l ₁ sin j₁ + l ₂ sin j₂ + l ₃ sin j₃ + l ₄ sin j₄ = 0.

 

Угол j₄= 180^O = Const. Угол j₃ также не меняется, но зависит от направления смещения точки B: j₃ = 90^О на рис. 2.9, j₃ = 270^O на рис. 2.10. Обозначим: l ₃^* = l ₃ sin j₃, учитывая, что l ₁cos j₁ = x_A, l ₁sin j₁ = y_A – координаты входного шарнира, систему (2.17) запишем в виде:

(2.18)

x_A + l ₂ cos j₂ – l ₄ = 0;

y_A + l ₂ sin j₂ + l ₃^* = 0.

Так как при заданных кинематических параметрах движения входного звена угол j₁, а, следовательно, и x_A, y_A известны, то эта система легко решается относительно неизвестных j₂, l ₄

(2.19)

j₂ = –arcsin[(l ₃^* + y_A)/ l ₂ ];

l ₄ = x_A + l ₂ cos j₂.

Дифференцируя систему (2.18) по времени, получим:

(2.20)

v_Ax – l ₂ w₂ sin j₂ – v_B = 0;

v_Ay + l ₂ w₂ cos j₂ = 0.

где: v_Ax, v_Ay – проекции скорости входного шарнира A на оси НСК OXY.

Тогда угловая скорость шатуна и скорость ползуна:

(2.21)

w₂ = – v_Ay /(l ₂ cos j₂);

v_B = v_Ax – l ₂ w₂ sin j₂.

Дифференцируя (2.20) по времени, получим систему уравнений для определения ускорений:

 

 

где: a_Ax, a_Ay – проекции ускорения входного шарнира A на оси НСК OXY (см. уравнение (2.16).

Тогда угловое ускорение шатуна и ускорение ползуна:

(2.22)

 

 

2.3.3. Кулисные структурные группы

Механизмы двух модификаций, состоящие из входного звена OA и структурных групп с кулисами представлены на рис. 2.11, 2.12. Ось кулисы в общем случае может быть смещена как от шарнира A на величину l ₂, так и от опоры B на величину b. Смещения на рисунках показаны положительными. Введем в рассмотрение вектор l ₃^* из точки A в точку B, который соответствует положению кулисы при отсутствии смещений. Найдем сначала решение для этого случая (все величины, помеченные ниже звездочкой, относятся к случаю l ₂ = b = 0).

Если занумеровать звенья так, как это показано на рис. 2.11, 2.12, то уравнение замкнутого векторного контура для обеих модификаций запишется одинаково:

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY и учитывая, что j₄ = 180^О = Const, а l ₁cos j₁ = x_A, l ₁ sin j₁ = y_A – координаты входного шарнира A, получим:

(2.23)

x_A + l ₃^* cos j₃^* – l ₄ = 0;

y_A + l ₃^* sin j₃^* = 0.

Из системы (2.23) находим:

(2.24)

Отметим, что при вычислении по формулам (2.24) результат l ₃^* = 0 является признаком неработоспособности механизма если в процессе движения входное звено должно проходить положение (x_A = l ₄, y_A = 0).

Для определения угловой скорости кулисы w₃^* и скорости ползуна относительно кулисы v ₃^* продифференцируем систему (2.23) по времени:

v_Ax

(2.25)

+ v ₃^* cos j₃^* – l ₃ w₃^* sin j₃^* = 0;

v_Ay + v ₃^* sin j₃^* + l ₃ w₃^* cos j₃^* = 0.

 

где: v_Ax, v_Ay – проекции скорости входного шарнира A (см. уравнения (2.20).

Система (2.25) линейна относительно w₃^*, v ₃^*, т.е. легко разрешима, например, по формулам Крамера.

Дифференцируя (2.25) по времени, получим систему уравнений для определения углового ускорения кулисы e₃^* и ускорения ползуна относительно кулисы a ₃^*:

(2.26)

a_Ax + a ₃^* cosj₃^* – 2 v ₃^* w₃^* sinj₃^* – l ₃^* e₃^* sinj₃^* – l ₃^* w₃^*2 cosj₃^* = 0;

a_Ay + a ₃^* sinj₃^*+ 2 v ₃^* w₃^* cosj₃^* + l ₃^* e₃^* cosj₃^* – l ₃^*w₃^*2 sinj₃^*= 0.

где: a_Ax, a_Ay – проекции ускорения входного шарнира A на оси неподвижной системы координат OXY (см. уравнение (2.1).

Кинематические параметры движения кулисы при наличии смещений l ₂, b (см. рис. 2.11, 2.12) получим через параметры движения вектора l ₃^*, который повернут относительно вектора l ₃ на угол ¡:

¡ = arcsin((b – l ₂ )/ l ₃^*); j₃ = j₃^* + ¡; l ₃ = l ₃^* cos ¡. (2.27)

На рис. 2.11, 2.12 показаны положительные смещения l ₂ и b.

Дифференцируем дважды по времени выражения для j₃ и l ₃:

...

w₃ = w₃^*+ ¡; e₃ = e₃^* + ¡;

.

v ₃ = v ₃^* cos ¡ – l ₃^* ¡ sin ¡; (2.28)

....

a ₃ = a ₃^* cos ¡ – 2 v ₃^* ¡ sin ¡ – l ₃^*(¡ sin ¡ + ¡² cos ¡),

Необходимые для вычисления по формулам (2.28) производные от ¡, определим последовательно дифференцируя первое из выражений (2.27):

 

(2.29)

2.3.4. Структурная группа "шарнир – ползун – ползун";

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы рассматриваемого типа, представлен на рис. 2.13. Ось X неподвижной системы координат OXY направим параллельно оси ползуна C, так как в такой системе задача решается проще. Смещения l ₂ и l ₅ показаны положительными.

Уравнение замкнутого векторного контура:

 

Проецируя его на оси системы координат OXY получим:

 

x_A

(2.30)

+ l ₁₁ cos j₂ + l ₁₂ cos b + l ₃ cos j₃ + l ₄ cos j₄ + l ₅ cos j₅ = 0;

y_A + l ₁₁ sin j₂ + l ₁₂ sin b + l ₃ sin j₃ + l ₄ sin j₄ + l ₅ sin j₅ = 0.

 

Здесь l ₁cos j₁ = x_A, l ₁ sin j₁ = y_A – координаты входного шарнира A. Угол j₄ = 180^О = Const, углы j₂, j₃, j₅ тоже постоянны, при этом j₂ = b – p/2, j₃ = b + p (b – угол между осями ползунов), а угол j₅ – между осью Х и вектором l ₅ зависит от направления смещения точки C: и равен 90^О или 270^О. Обозначив l ₅^* = l ₅ sin j₅ систему (2.30) запишем в виде:

(2.31)

x_A + l ₁₁ cos j₂ + l ₁₂ cos b + l ₃ cos j₃ – l ₄ = 0;

y_A + l ₁₁ sin j₂ + l ₁₂ sin b + l ₃ sin j₃ + l ₅^* = 0.

Отсюда находим неизвестные l ₃, l ₄ .

l ₃ = –(y_A + l ₁₁ sin j₂ + l ₁₂ sin b + l ₅^*)/sin j₃;

l ₄ = x_A + l ₁₁ cos j₂ + l ₁₂ cos b + l ₃ cos j₃;

Последовательно дифференцируя систему (2.31) по времени, получим уравнения для определения v ₃, a ₃ – скорости и ускорения скольжения ползуна В и v ₄, a ₄ – скорости и ускорения ползуна С:

v_Ax + v ₃ cos j₃ – v ₄ = 0;

(2.32)

v_Ay + v ₃ sin j₃ = 0.

Откуда

v ₃ = – v_Ay / sin j₃;

v ₄ = v_Ax + v ₃ cos j₃.

Соответственно, ускорения

a_Ax + a ₃ cos j₃ – a ₄ = 0;

a_Ay + a ₃ sin j₃ = 0.

Откуда

a ₃ = – a_Ay / sin j₃;

a ₄ = a_Ax + a ₃ cos j₃.

 

где: v_Ax, v_Ay, a_Ax, a_Ay – проекции скорости и ускорения входного шарнира A.

2.3.5. Структурная группа "ползун – шарнир – ползун";

 

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы рассматриваемого типа представлен на рис. 2.14. Ось X неподвижной системы координат OXY направим параллельно оси ползуна C, так как в такой системе задача решается проще. Все смещения показаны положительными.

Уравнение замкнутого векторного контура:

Проецируя его на оси системы OXY и учитывая, что при положительных смещениях углы j₃ = 270^О, j₄ = 180^О, получим:

(2.33)

l ₀ cos j₂ + l ₁ cos j₁ + l ₁₁ cos j₂ + l ₁₂ cos j₁ + l ₂₁ – l ₄ = 0;

l ₀ sin j₂ + l ₁ sin j₁ + l ₁₁ sin j₂ + l ₁₂ sin j₁ + l ₂₂ – l ₃ = 0,

где: j₂ = j₁ – p /2.

Из системы (2.33) находим неизвестные l ₁, l ₄:

l ₄ = l ₀ cos j₂ + l ₁ cos j₁ + l ₁₁ cos j₂ + l ₁₂ cos j₁ + l ₂₁;

l ₃ = l ₀ sin j₂ + l ₁ sin j₁ + l ₁₁ sin j₂ + l ₁₂ sin j₁ + l ₂₂,

Отметим, что при j₁ = 0 или j₁ = 180^О данная структурная группа имеет неопределенное положение, т.к. оси ползунов становятся параллельными и появляется дополнительная степень свободы.

Дифференцируя систему (2.33) по времени, получим:

(2.34)

– l ₀ w₁ sin j₂ – l ₁w₁ sin j₁ + v ₁ cos j₁ – l ₂ w₂ sin j₂ – v ₄ = 0;

l ₀ w₁ cos j₂ + l ₁w₁ cos j₁ + v ₁ sin j₁ – l ₂ w₂ cos j₂ = 0.

Отсюда найдем v ₁ – скорость ползуна A относительно входного звена и скорость выходного ползуна C, равную скорости точки B: v _B = v ₄

Дифференцируя (2.34) по времени и приводя подобные члены, получим:

–e₁ ((l ₀ + l ₂ ) sin j₂ + l ₁ sin j₁) – w₂² ((l ₀ + l ₂ ) cos j₂ + l ₁ cos j₁) –

(2.35)

– 2 v ₁w₁ sin j₁ + a ₁ cos j₁ – a ₄ = 0;

e₁ ((l ₀ + l ₂ ) cos j₂ + l ₁ cos j₁) – w₂² ((l ₀ + l ₂ ) sin j₂ + l ₁ sin j₁) +

+ 2 v ₁w₁ cos j₁ + a ₁ sin j₁ = 0.

 

Отсюда находим a ₁ – ускорение ползуна A относительно входного звена и ускорение выходного ползуна a _C = a _B = a ₄.

Как следует из полученных выражений, особенностью расчета данной структурной группы является необходимость задания кинематических параметров движения входного звена j₁, w₁, e₁.