Погрешности измерений

Внимание! Данные измерений, т.е. показания приборов – не округляются!

1. Любые измерения имеют погрешности. Абсолютно точных измерений не бывает! Погрешности определяют по-разному в зависимости от вида измерения.

2. Виды измерений:

· прямые – результат считывают по шкале прибора (линейки, секундомера, вольтметра, пирометра и др.);

· косвенные – результат определяется расчётом (объём параллелепипеда по длине сторон, мощность по току и напряжению, скорость по пути и времени и др.);

· однократные;

· многократные.

3. Виды погрешностей:

· приборные – погрешность равна цене деления прибора;

· случайные – при многократных измерениях одной и той же величины точным прибором;

· систематические – измерения неисправным прибором (секундомер спешит или отстаёт, сдвинут нуль шкалы и др.).

4. Результат измерений величины Х представляют в виде:

X = X и ± D Х,

(1)

где X _и – показания прибора (при прямых измерениях), или результат расчёта (при косвенных измерениях), или среднее значение (при многократных измерениях); D Х – погрешность измерения.

Такая запись означает, что истинное значение измеренной величины лежит в интервале от (X _и – D Х) до (X _и + D Х).

5. Случайные погрешности определяют методами математической статистики, в которой предполагается, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины Х является среднее арифметическое á Х ñ от результатов измерений этой величины. Среднее арифметическое вычисляется по общим правилам – сумма всех измеренных значений делится на количество измерений:

,

(2)

где N – число измерений; i – номер измерения; Х_i – значение, полученное при измерении с номером i.

6. Абсолютная погрешность D Х_i конкретного (i- го) измерения определяется как разность между средним и конкретным значениями:

D Хi = á Х ñ – Хi,

(3)

то есть является отклонением от среднего значения. Как видно из определения, D Х_i может быть и положительной, и отрицательной величиной.

7. Средняя абсолютная погрешность áD Х ñ определяется как среднее арифметическое отклонений (3), взятых по модулю (т. е. без учёта знака!):

.

(4)

При записи результата измерений áD Х ñ округляется до одной значащей цифры (или до двух цифр, если первая значащая цифра – единица).

8. Результат измерений со случайными погрешностями представляют в виде

X = á Х ñ ± áD Х ñ.

(5)

Такая запись означает, что истинное значение измеренной величины лежит в интервале от (á Х ñ – áD Х ñ) до (á Х ñ + áD Х ñ). При записи результата измерений среднее значение á Х ñ округляют так, чтобы последняя значащая цифра в этом числе имела тот же разряд, что и áD Х ñ.

Например, при расчётах среднее значение величины Х получилось равным 2,326, а средняя абсолютная погрешность при расчётах с тремя значащими цифрами оказалась равной 0,0377. Тогда, в соответствии с правилами, результат следует записать в следующем виде:

X = 2,33 ± 0,04.

Если при том же á Х ñ средняя абсолютная погрешность будет меньше, например, áD Х ñ = 0,0148, то результат измерений нужно записать так:

X = 2,326 ± 0,015.

9. Точность измерения характеризуется относительной погрешностью e, и выражается обычно в процентах:

.

(6)

После вычисления значение e нужно обязательно округлить до одной-двух значащих цифр. Например, 1,473 % надо округлить до 1,5 %, а 3,7 % – до 4 %. Для приведённых в п. 8 примеров расчёт относительных погрешностей даёт:

. .

Полезно знать, что число, записанное с одной значащей цифрой, имеет относительную погрешность около 10 %; с двумя значащими цифрами – около 1 %; с тремя значащими цифрами – около 0,1 %.