Вычисление определителя третьего порядка.

1. Вычисление определителя третьего порядка по правилу треугольников

Рис. 1 Рис. 2

Данное правило заключается в том, что первые три слагаемые в правой части равенства вычисляются так, как это показано на Рис. 1, они представляют собой произведения элементов, стоящих на главной диагонали и вершинах двух треугольников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали. Остальные три слагаемых правой части равенства вычисляются аналогично (Рис. 2), только за основу взята побочная диагональ. Причем эти слагаемые берутся с обратным знаком.

Определение: Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

- минор данного элемента определителя третьего порядка.

Определение: Алгебраическое дополнение данного элемента – это минор, взятый со знаком «плюс», если сумма - четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. - алгебраическое дополнение данного элемента определителя третьего порядка. .

Замечание.

Здесь означает номер строки, а - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Пример 2. Дана матрица . Найти .

Решение

Минор , соответствующий элементу , есть определитель . Он получается, если вычеркнуть из данного определителя третьего порядка третью строку и первый столбец.

По формуле (14) находим алгебраическое дополнение для элемента .

2. Разложение определителя по элементам строки (или столбца).

- разложение определителя по элементам первой строки.

Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Замечание.

Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего и более высокого порядка.