Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Рассмотрим систему n - линейных уравнений с n неизвестными

.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Если определитель матрицы системы из n – линейных уравнений с n неизвестными

не равен нулю , то система имеет единственное решение и это решение находится по формуле:

, где

- определитель матрицы системы, составленный из коэффициентов при неизвестных, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

- формула Крамера.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными :

(1).

Система (1) неоднородная, если хотя бы один из свободных членов , отличен от нуля.

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, называется главным определителем системы:

- главный определитель системы. (2)

Определители получаются из главного определителя системы , если в нем заменить соответственно коэффициенты при x, y и z свободными членами , , .

(3)

Решение системы (1) определяется формулами:

- формулы Крамера. (4)

Система (1) имеет единственное решение, определяемое формулами (4).

Замечание.

Система уравнений называется совместной и определенной, когда она имеет решение, и притом единственное.

Если, то система уравнений решение, и притом единственное,.

Если , а хотя бы один из определителей не равен нулю, то система (1) решений не имеет (т. е. несовместна).

Система (1) также может совсем не иметь решений; но если система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Замечание.

Совместная система является неопределенной, если допускает бесчисленное множество решений. Случай, когда .

Система (5) – однородная (все свободные члены равны нулю):

. (5)

Если , а , то система имеет единственное решение.

Если , система помимо нулевого решения имеет бесконечно много ненулевых решений.

 

Задачи

Задача 1. Решить систему .

Решение

Здесь .

Так как , система имеет решение, и притом единственное.

Найдем :

, , .

Тогда по формулам (4) определяем решение системы .

Ответ: ; ; .

Задача 2. Решить систему .

Решение

Здесь .

Так как , то система несовместна.

Задача 3. Решить систему .

Решение

Здесь . Так как и система однородная, то система имеет единственное решение , , .