Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.





Рассмотрим систему n - линейных уравнений с n неизвестными

.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Если определитель матрицы системы из n – линейных уравнений с n неизвестными

не равен нулю , то система имеет единственное решение и это решение находится по формуле:

, где

- определитель матрицы системы, составленный из коэффициентов при неизвестных, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

- формула Крамера.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными :

(1).

Система (1) неоднородная, если хотя бы один из свободных членов , отличен от нуля.

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, называется главным определителем системы:

- главный определитель системы. (2)

Определители получаются из главного определителя системы , если в нем заменить соответственно коэффициенты при x, y и z свободными членами , , .

(3)

Решение системы (1) определяется формулами:

- формулы Крамера. (4)

Система (1) имеет единственное решение, определяемое формулами (4).

Замечание.

Система уравнений называется совместной и определенной, когда она имеет решение, и притом единственное.

Если, то система уравнений решение, и притом единственное,.

Если , а хотя бы один из определителей не равен нулю, то система (1) решений не имеет (т. е. несовместна).

Система (1) также может совсем не иметь решений; но если система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Замечание.

Совместная система является неопределенной, если допускает бесчисленное множество решений. Случай, когда .

Система (5) – однородная (все свободные члены равны нулю):

. (5)

Если , а , то система имеет единственное решение.

Если , система помимо нулевого решения имеет бесконечно много ненулевых решений.

 

Задачи

Задача 1. Решить систему .

Решение

Здесь .

Так как , система имеет решение, и притом единственное.

Найдем :

, , .

Тогда по формулам (4) определяем решение системы .

Ответ: ; ; .

Задача 2. Решить систему .

Решение

Здесь .

Так как , то система несовместна.

Задача 3. Решить систему .

Решение

Здесь . Так как и система однородная, то система имеет единственное решение , , .







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 545. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия