Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

ДУ вида

(3)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.

Где a,b,c-постоянные вещественные числа.

 

 

Будем искать частные решения ДУ (3) в виде , где , тогда .

Подставляя значения в ДУ (3), находим

Так как то получим следующее алгебраическое выражение

(4)

 

которое называется характеристическим уравнением для ЛОДУ (3).

Уравнение (4) является уравнением 2-ой степени и имеет 2 корня (действительных или комплексных, среди них могут быть и равные).

Каждому корню характеристического уравнения соответствует частное решение , вид которого зависит от характера корня.

Совокупность частных линейно независимых решений составляет фундаментальную систему решений ЛОДУ (3).

Тогда общее решение ЛОДУ (12) имеет вид:

 

 

Определение 7: Компоненты общего решения дифференциального уравнения (3) определяются в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4) следующим образом:

 

1) каждому действительному простому (т.е. не кратному) корню в общем решении соответствует слагаемое вида ;

 

2) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

 

;

3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;

 

4) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

. (16)

Рассмотрим частные случаи линейных однородных уравнений ЛОДУ:

 

а) если =2, т.е. ЛОДУ второго порядка;

 

Способ решения ЛОДУ второго порядка состоит в том, что:

· при помощи замены

- через , - через , - через 1

составляется характеристическое уравнение, соответствующее данному ЛОДУ;

· решается характеристическое уравнение, находятся корни:

· устанавливается характер корней (действительные или комплексные, различные или кратные) и определяется соответствующая этим корням фундаментальная система решений

· составляется общее решение ЛОДУ:

 

.

 

Последовательность нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка и приемы составления фундаментальной системы решений представлены в таблице 2.

 

 

Таблица 2.

Общее решение (ЛОДУ) второго порядка.

Порядок	n =2
Общий вид ЛОДУ
Характеристическое уравнение
Характер корней	- действительные различные числа	действительные одинаковые числа	- комплексно сопряженные числа
Фундаментальная система решений
Общее решение

Пример1. Найти фундаментальную систему решений ДУ: