Метод подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).

 

Этот метод применим к решению ЛНДУ с постоянными коэффициентами вида (3) только в случаях, когда его правая часть:

· многочлен;

· показательная функция;

· тригонометрические функции (или одна из них);

· линейная комбинация перечисленных функций;

· произведение перечисленных функций.

Таким образом, рассматриваемый метод применяется при следующем виде правой части ЛНДУ:

 

, (2)

где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа. Возможны разновидности этого вида правой части в зависимости от того, содержатся или нет в тригонометрические функции.

 

Сущность метода состоит в том, что:

 

· по характерному виду правой части ЛНДУ и корням характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ определяется общий вид частного решения уравнения (ниже рассматриваются различные случаи и соответствующих им );

 

· неизвестные коэффициенты многочлена или тригонометрических функций в искомом находятся методом неопределенных коэффициентов. Он состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях (или при одноимённых тригонометрических функциях) левой и правой частей уравнения, полученного в результате подстановки в данное ЛНДУ частного решения (в его общем виде) и его производных ;

· найденные коэффициенты подставляются в предварительно установленный общий вид , в результате находится .

· далее в соответствии со структурой общего решения ЛНДУ суммируется ЛОДУ и ЛНДУ и получается

 

.

 

Рассмотрим два различных вида (и их частные случаи) правой части ЛНДУ (3) и соответствующие им виды частного решения (см. таблицу 3).

 

Таблица 3.

Частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений по виду его правой части

	Вид правой части и его частные случаи	Вид частного решения
I	, где -многочлен -ой степени; -постоянное число.	, где · - многочлен той же степени, что и ; · - та же показательная функция; · - число корней характеристического уравнения, равных , т.е. · Примеры многочленов разных степеней:
	Случай 1.	, где: · - число корней характеристического уравнения, равных ; · - многочлен той же степени, что и ;
	Случай 2. где постоянное число(многочлен 0-ой степени).	, где · - та же показательная функция; · - число корней характеристического уравнения, равных . · А- постоянное число (многочлен 0-й степени), которое находится методом неопределённых коэффициентов.
II	где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа.	, где: · и - многочлены степени , (где ). · - те же самые тригонометрические функции, что и в ; · - та же показательная функция; · - число корней характеристического уравнения, совпадающих с , т.е. ·
	Случай 1. , т.е. - многочлены 0-й степени, т.е. постоянные числа, , где - действительные числа (в частности, возможно или ).	, где · A и В- действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; · - та же показательная функция; · - те же самые тригонометрические функции, что и в ; · - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	Случай 2. , , , где - действительные числа.	, где · A и В- действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; · - те же самые тригонометрические функции, что и в ; · - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим сущность метода подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части на примерах.

 

I вид. Правая часть ЛНДУ

 

, (1)

 

где - многочлен -ой степени, - постоянное число. Тогда общий вид частного решения: , где - та же самая показательная функция, что и в ; - многочлен той же степени, что и ; - число корней характеристического уравнения, равных .

Далее путем подстановки общего вида в линейное неоднородное дифференциальное уравнение находятся неопределённые коэффициенты многочлена .

 

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

.