Биномиальный закон распределения. Пусть проводится n независим

Пусть проводится n независим. испытаний, в кажд. из которых событие А может появиться, либо не появиться. Вероятность появл. соб. А в единичном испытании постоянна и не меняется от испытания к испытанию. Рассмотрим в кач-ве ДСВ Х число появлений соб. А в этих испытаниях. Формула, позволяющ. найти вер. появления m раз события А в n испытаниях – это форм. Бернулли. Опред.: ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. значения с вероятн. P_n(m)=P(X=m)= p^mq^n-m, где p+q=1, p>0, q>0, m= называется распределенной по биномиальному закону, а p – параметром биномиальн. распределения. Ряд распредел. ДСВ Х распределенной по биномиальн. закону можно представить в виде:

X				…	k	n
p				…

Функция распредел. в этом случае определяется формулой F(x)= . Найдем числовые хар-ки этого распределения. M(X) = (рав-во 1). Запишем рав-во, являющееся биномом Ньютона: (p+q)ⁿ= . Продифференцируем последнее рав-во по p: n(p+q)^n-1= . Умножим последнее рав-во на p: np(p+q)^n-1 = . Сравнивая получен. рав-во с рав-вом (1), получаем, что np(p+q)^n-1 = M(X). Т.к. p+q=1, то M(X)= np. Для вычисления дисперсии ДСВ распределенной по биномиальн. закону воспользуемся формулой D(X)= M(X²) – (M(X))². Для СВ распределенной по биномиальн. закону: M(X²) = . Продифференцируем рав-во (p+q)ⁿ = дважды по p. Получим n(n – 1)(p+q)^{n —2}= . Умножим последнее рав-во на p² и преобразуем правую часть рав-ва: n(n – 1)(p+q)^{n —2} p² = — ; n²p² – np² = M(X²) — ; n²p² – np² = M(X²) – M(X). Для ДСВ распределенной по биномиальн. закону M(X)= np, т.е. n²p² – np² = M(X²) – np; M(X²)= n²p² – np² + np; D(X)= n²p² – np² + np — n²p² = np(1 – p) = npq. Значит дисперсия ДСВ распределенной по биномиальн. закону вычисляется по формуле: D(X) = npq. .