Закон Пуассона

ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотрицат. значения с вероятностями P_m = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с параметром распределения λ, где λ=np. В отличие от биномиальн. распределения здесь СВ может принимать бесконечное мн-во значений, представляющ. собой бесконечн. последовательность целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящ. за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, кот. характеризуется параметром λ=np. Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функцию e^x можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому e^λ = = 1+ λ + λ²/2! + …+ λ^m/m! +… Тогда = e^—λ = e^—λ e^λ =1. Найдем мат. ожидание и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = = = = λ e^—λ = λe^—λ e^λ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X²) – (M(X))². M(X²) = = e^—λ = e^—λ = λ² e^—λ + λ e^—λ = λ² e^—λ e^λ + λ e^—λ e^λ = λ² +λ. Тогда D(X) = λ² +λ — λ² = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распределения λ.