Функция распредел. СВ и ее св-ва

Ряд распредел. не явл. исчерпывающ. хар-кой для СВ, т.к. он существ. только для дискретн. СВ. Непрерывн. СВ имеет бесчислен. мн-во возможн. значений, сплошь заполняющ. некотор. промежуток. Составить табл., в кот. были бы перечислены все возможн. значения СВ невозможно. Кроме того в дальнейшем будет показано, что кажд. отдельн. значение обладает нулевой вер. Однако несмотря на рав-во 0-вых вероятностей отдельн. значений непрерывн. СВ, нахождение ее возможн. значений в различн. интервалах обладает различн. и отличными от 0 вероятностями. Т.о. для непрер. СВ, так же как и для дискретн., можно определить закон распредел., но в неск-ко ином виде. Для хар-ки поведения непрер. СВ целесообразно использовать не вер. события X=x, а вер. соб. X<x, где x – некотор. действит. число. Вер. P(X<x) явл. функцией аргумента x. Будем обозначать эту функц. F(x). Опред.: Функцией распред. СВ X назыв. функц. F(x), задающая вер. того, что СВ X принимает значение меньшее x, т.е. F(x)=P(X<x). Функц. распред. F(x) назыв. также интегральн. функцией распред. или интегральн. законом распредел. Функц. распред. существует для всех СВ(как дискретн., так и непрерывн.).Она полностью характеризует СВ величину с вероятн. точки зрения, т.е. явл. одной из форм закона распредел. Функц. распредел. допускает простую геометрич. интерпретацию. Рассмотрим СВ X как случ. точку на оси OX, кот. в рез-те опыта м. занять то или иное положение. Пусть на оси OX выбрана конкретн. точка x, тогда в рез-те опыта случ. точка X м. оказаться левее или правее точки x. Вер. того, что случ. точка X оказалась левее точки x и будет являться функц. распредел., зависит от положения точки x. Для дискретн. СВ, кот. может принимать значение , функц. распредел. имеет вид , где нер-во означает, что суммирование касается всех тех знач. , величина кот. <x. Предположим, аргумент x принял какое-то определ. знач., но такое, что выполняется нер-во , тогда левее числа x на числов. оси окажутся только те знач. СВ, кот. имеют индекс 1,2,3…,i. Поэтому нер-во X<x выполняется, если велич. X примет знач. , где k=1,2,3…,i. Т.о. событие X<x наступит, если наступит любое из соб. , ,…, . Т.к. эти соб. несовмест., то по теор. сложен. вер. P(X<x)= + +…+ = . Построим ряд распредел. дискретн. СВ Х:

При , F(x)= =0; При , F(x)= = ; при , F(x)= = = ; при , F(x)= = + ; при , F(x)= = +…+ = ; при , F(x)= +…+ = . Для дискретн. СВ график функции распредел. представл. собой разрывную ступенчатую фигуру. Когда перемен. х проходит через какое-ниб. из возможн. знач. СВ, знач. функц. распредел. меняется скачкообразно,т.е. функц. имеет скачок в тех точках, в кот. случ. величина принимает конкретн. знач. согласно ряду распредел., причем величина скачка равна вер. этого значения. Замеч.: По функц. распредел. дискретн. СВ всегда можно восстановить ее ряд распредел. Св-ва функц. распредел.: 1) если F(x) –функц. распредел. СВ Х, то для всех х. Это св-во вытекает из определ. функции распредел.; 2) F(x) явл. неубывающей, т.е. при , . Доказ-во: Пусть - точки числ. оси, причем . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместн. события: соб.А состоит в том, что , а соб. В сост. в том, что . Тогда соб. А+В = . По теор. сложен. вер. P(A+B)=P(A)+P(B) или P(X< )= P(X< )+P(). Используя определ. функц. распредел. получаем F()=F()+ P(). Т.к. вер. того, что () 0, то F() F(), т.е. F(x) – неубывающ. функция; 3) если F(x) – функц. распредел., то =0, =1. Доказ-во: Т.к. F(x) – монотон. функция и ограниченная(из св-ва 1), то существует. В силу предполагаем. непрерывности F(x) можно записать, что = = . Т.к. соб. невозможное, то его вер.=0. Значит =0. Аналогично = = . Соб. - достоверное, а его вер. =1. Значит =1.