Операторный метод

С учетом независимых начальных условий изображается операторная схема замещения (рис. 2.7).

 

 

 

Рис 2. 7

 

Уравнения Кирхгофа в операторной форме запишутся в виде

 

I₁(p) - I_C(p) -I₂(p) + J/p = 0,

I_L(p) + I₂(p) - J/p = 0,

I₁(p)R₁ + I_C(p)/(pC) = E/p - U_C(0-) /p,

I₂(p)R₂ - I_L(p)pL - I_C(p)/pC = U_C(0-)/p,

I₂(p)R₂ = U_J(p).

Метод пространства состояний. Матричная схема уравнений в переменных состояния имеет вид

X ¢= A X + BV,

J = CX + DV.

В конкретном случае

i_L¢ = a₁₁i_L + a₁₂u_C +b₁₁E + b₁₂J,

u_C¢ = a₂₁i_L + a₂₂u_C + b₂₁E + b₂₂J,

i₁ = C₁i_L + C₂u_C + d₁E + d₂J.

Рассмотрим два способа получения матриц связи.

1. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью составления системы уравнений Кирхгофа:

 

i_L + i_R2 - J = 0,

-i₁ + i_C - i_L = 0,

i₁R₁ + u_C = E,

u_C + u_L - i₂R₂ = 0,

i₂R₂ = u_J,

 

или в дифференциальной форме:

i_L + i_R2 - J = 0

-i₁ + Cu_С¢ - i_L = 0

i₁R₁ + u_C = E

u_C + Li_L¢ - i₂R₂ = 0

i₂R₂ = u_J

 

Произведя необходимые преобразования и подстановки, получим

 

i_L¢ = (1/L) ^. [ (J - i_L) R₂ - u_C],

u_C¢ = (1/C) ^. [ i_L + (E - u_C)/R₁],

i₁ = (E - u_C)/R₁.

 

Выразим из полученной системы уравнений искомые коэффициенты матриц связи:

 

2. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью канонической процедуры. В процессе решения заполняется таблица:

Таблица 2.3

Реакция	Воздействия
	iL	UC	E	J
i¢L	-R2/L	-1/L		R2/L
U¢C	1/C	-1/(R1C)	-1/(R1C)
i1		-1/R1	1/R1

 

Искомые коэффициенты определяются в результате рассмотрения вспомогательных резистивных цепей (рис 2.8 – 2.11):

а) U_J = -u_L = JR₂ = R₂

i_L¢ = u_L /L, следовательно, i_L¢ =

= - R₂ /L = а₁₁;

б) i_C = J_L = 1 = C_Uc’, следовательно,

u_c¢ = 1/C = a₂₁;

в) i₁ = 0, следовательно, C₁ = 0.

Рис. 2.8

a) u_L = - E_C = -1, следовательно,

i _L¢ = - 1/L = b₁₂;

б) i_C= -E_C/R₁ = -1/R₁, следовательно,

u_C¢ = -1/R₁C = b₂₂;

в) u_C = E_C = 1, следовательно,

i₁ = -E_C/R₁ = -1/R₁ = C₂;

Рис. 2.9

 

 

a) i₁ = E/R₁ = 1/R₁ = d₁;

б) u_L = 0, следовательно, i_L¢ =0= b₁₁;

в) i_C = E/R₁ = 1/R₁, следовательно,

b₂₁ = u_C¢ = 1/R₁C.

 

Рис. 2.10

 

a) i₁=0, следовательно, d₂=0;

б) i_C=0, следовательно,

u_C¢=0=b₂₂;

в) u_L=JR₂=R₂, следовательно,

i_L¢=R₂/L, и, b₁₂ = R₂/L.

 

Рис. 2.11

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей: Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1989. Гл. 14, 15, 17.

2. Шебес М.Р. и др. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высш. Шк., 1990. Гл. 8, 9.

3. Расчет переходных процессов в электрических цепях методом переменных состояния: Метод. указания/ Сост. Б.И. Яхинсон; Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1984.