Производные основных элементарных функций.

Производные_основных элементарных функцийСтепенная_функция

Дадим аргументу x приращение ∆ х. Функция получит приращение . По формуле бинома Ньютона имеем:

Тогда

Находим предел составленного отношения при ∆х→0:

Таким образом,

Показательная_функция

Найдем сначала производную функции . Придав аргументу х приращение ∆х, находим приращение функции ∆у:

и При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ~ х при х → 0.

Итак, , т.е.

Теперь рассмотрим функцию Так_как то по формуле производной сложной функции находим:

Таким образом,

Логарифмическаяфункция

Найдем производную функции

Для_нее

Переходя к пределу при ∆х → 0 и воспользовавшись эквивалентностью ~ при ∆х → 0, получаем:

т.е. .

Теперь рассмотрим функцию Так как то

Таким_образом,

Тригонометрические функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y= ctgx

Для функции y = sinx имеем:

Переходя к пределу при ∆х → 0 и воспользовавшись первым замечательным пределом получаем

т.е.

y = cosx:

.y = tgx:

y = ctgx:

Обратныетригонометрическиефункцииy = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y= arcctgx

Пусть y = arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х = sin у, На интервале верно равенство

По правилу дифференцирования обратных функций где перед корнем взят знак плюс, так как cosy> 0 при

Аналогично получаем, что

y = arctgx является обратной к функции х = tg у, где

y = arcсtgx:

Функции arctgx и arctgx связаны отношением