Производные основных элементарных функций.
Производные_основных элементарных функцийСтепенная_функция Дадим аргументу x приращение ∆ х. Функция
Тогда Находим предел составленного отношения при ∆х→0:
Показательная_функция Найдем сначала производную функции
Итак, Теперь рассмотрим функцию
Логарифмическаяфункция Найдем производную функции Для_нее Переходя к пределу при ∆х → 0 и воспользовавшись эквивалентностью
Теперь рассмотрим функцию Таким_образом, Тригонометрические функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y= ctgx Для функции y = sinx имеем:
y = cosx:
Обратныетригонометрическиефункцииy = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y= arcctgx Пусть y = arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х = sin у, По правилу дифференцирования обратных функций Аналогично получаем, что y = arctgx является обратной к функции х = tg у, где
y = arcсtgx: Функции arctgx и arctgx связаны отношением
|
получит приращение 
. По формуле бинома Ньютона имеем:
Таким образом, 
. Придав аргументу х приращение ∆х, находим приращение функции ∆у: 
и 
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью 
~ х при х → 0.
, т.е. 
Так_как 
то по формуле производной сложной функции находим:
Таким образом, 
~ 
при ∆х → 0, получаем:
т.е. 
.
Так как 
то 
Переходя к пределу при ∆х → 0 и воспользовавшись первым замечательным пределом 
получаем
т.е. 
.y = tgx:
y = ctgx: 
На интервале 
верно равенство 
где перед корнем взят знак плюс, так как cosy> 0 при 
