Приклад 4. Побудова математичної моделі кожухотрубного теплообміннику.

Розробити математичну модель кожухотрубного теплообміннику, в якому нагрівається отцтово-водна суміш концентрацією 30% до температури Т=100 . Витрати цієї суміші становлять F_р=250 м³/год. Температура на вході Т_р0=25 . Нагрівання здійснюється перегрітою парою з температурою Т_с=160 . Поверхня трубок теплообміннику 10м². Маса латунних теплопередаючих трубок m_c=300 кг. Маса рідини, яка перебуває всередині теплообміннику, становить m_р=500 кг. Питома теплопровідність латуні дорівнює с_с=0,394 .

Тепловий баланс кожухотрубного теплообмінника описується системою рівнянь:

Перше рівняння описує баланс теплоти теплоносія, а друге – для нагріваючого продукту (рідини чи газу).

Після ділення кожного з рівнянь системи на dt матимемо:

;

.

Вважаємо, що втрати теплоти незначні та ними можна знехтувати. Крім того, за допустимих відхилень температури зміна теплоємностей с_с, с_р, с’_р незначна та нею можна також знехтувати. Вважаємо, що коефіцієнт тепловіддачі змінюється незначно.

Сталі параметри: маса продукту в теплообміннику m_р, маса стінок m_с, поверхня S_p, теплота фазового переходу r.

Змінні параметри: температура стінки Т_с, витрати теплоносія F_Т, температура продукту на вході Т_р та на виході Т^/_p теплообмінника, витрати F_р.

Структурно-логічна схема кожухотрубного теплообмінника подана на рис.

 

 

Рис. Структурно-логічна схема об’єкту керування.

 

Змінні параметри об’єкту керування запишемо у вигляді:

Рівняння статики:

,

. Підставляючи значення змінних параметрів у відповідні співвідношення, після множення та нехтування складовими малого ступеня важливості, віднімання рівнянь статики матимемо:

;

Запишемо ці рівняння у відносній формі, позначивши:

В результаті отримаємо:

;

Розділимо вираз на , а другий – на .

Введемо позначення:

Тоді ці рівняння матимуть вигляд:

;

.

Оскільки температура стінки Т_с є проміжним параметром, вона вилучається з відповідного рівняння, для чого система рівнянь розв’язується відносно .

З останнього виразу знаходимо та .

; . Підставимо ці співвідношення у відповідне рівняння, після перетворень матимемо:

Введемо нові позначення:

Тоді рівняння математичної моделі кожухотрубного теплообмінника матиме вигляд:

.

Це рівняння відповідає структурно-логічній схемі рисунка.

Передаточна функція об’єкту керування з урахуванням часу запізнення за каналом регулювання матиме вигляд:

; за каналом збурення:

. Теплоємність суміші:

,

де Q₁, Q₂ – концентрації води та оцту в суміші; с₁, с₂ – їх теплоємності.

Теплоємність оцту обчислюється за формулою:

,

де Т – температура, .

Оскільки теплоємність води дорівнює 4,19 та практично не змінюється від 4 до 100 , маємо середню теплоємність на вході теплообмінника:

.

а на його виході

.

Коефіцієнт тепловіддачі від стінок трубок до рідини, враховуючи, що пара при теплообміні конденсується, дорівнює 10,51 .

Обчислимо сталі часу:

c; c.

З рівнянь статики знайдемо витрати пари, яка необхідна для нагрівання суміші, враховуючи, що r=39610,4 кДж/кг.

кг/год.

Коефіцієнти передачі:

Знайдемо параметри математичної моделі:

Підставивши знайдені значення величини, матимемо:

.

Отримана математична модель свідчить, що зв’язки між вихідними параметрами та збуренням , z незначні, в практичних розрахунках ними можна знехтувати.

Тоді математична модель матиме вигляд:

.

Передаточна функція об’єкта керування за каналом регулювання буде:

.

Знайдемо час запізнення теплообмінника за каналом зміни навантаження та за каналом зміни регулюючого органу.

Якщо змінюються тільки витрати рідини, а всі інші параметри незмінні, то:

;

де .

Якщо змінюється температура розчину, то:

c.

За каналом зміни носія:

В відповідності з величиною часу запізнення передаточна функція об’єкту керування набуде вигляду .