Приклад 3. Побудова математичної моделі апарату з рідиною.

Розробити математичну модель апарату з рідиною, який має стік. В нормальному режимі роботи апарат характеризується параметрами:

- висота рівня метаноло-водної суміші L=1,72 м;

- кількість суміші в апараті m=1,8 т;

- умовний прохідний діаметр стічного трубопроводу, на якому розміщується регулюючий орган, D_у=50 мм;

- витрати приточного потоку F_n=24,1 м³/год;

- температура приточного потоку t=60 ;

- допустимі відхилення рівня L₀=0,31 м.

Вихідним параметром об’єкта керування є рівень рідини в апараті. До змінних параметрів відносяться витрати притоку F_n, висота рівня L, густина , поперечний перетин регулюючого органу .

Незалежно від способу подачі рідини в апарат матеріальний баланс описується рівнянням:

. Залежність густини від зміни температури має вигляд:

 

де – густина відповідно при температурі Т і Т _0­­; – коефіцієнт об’ємного розширення.

Тоді згідно з (4.157), враховуючи прирости змінних величин, рівняння (4.156) буде:

Після множення та нехтування складовими малої значущості матимемо:

Далі вилучимо рівняння статики:

. Матимемо:

Введемо позначення . Після їх підстановки в (4.161) і ділення на вираз , матимемо:

Введемо позначення – стала часу;

, – коефіцієнти передачі відповідно каналів x y, z ₁ y, z ₂ y, z ₃ y.

Цей об’єкт відповідає такій структурно-логічній схемі, що наведена на рис.

 

Рис. Структурно-логічна схема об’єкту керування.

 

Тоді математична модель апарата з стоком матиме вигляд:

.

Наявність часу запізнення залежить від способу регулювання рівня. Якщо регулювання виконується за рахунок зміни витрат стоку, то запізнення відсутнє. У цьому разі передаточні функції становитимуть:

Знайдемо густину метаноло-водної суміші.

кг/м³. де – доля метанолу та води; – їх густини при температурі 60 .

Беремо коефіцієнт витрат через регулюючий орган .

Поперечний перетин апарата м².

Поперечний перетин регулюючого органу:

м².

Об’єм суміші в апараті, який може змінюватись,

м³.

Стала часу об’єкта керування с.

Коефіцієнти передачі об’єкта:

;

; ; .

Тоді диференціальне рівняння, що описує об’єкт керування, матиме вигляд:

Передаточні функції об’єкта без ланки запізнення: