Приклад 1. Отримання математичної моделі аналітичним методом для ресивера.

Отримати статичну модель аналітичним методом для ресивера.

Розрахувати статичну модель та побудувати статичну характеристику для повітряного ресивера.

Дані для розрахунку: Р ₀ = 6 атм, Р = 4 атм, Р ₁ = 2 атм, кг/г, , .

Визначаємо межі об’єкту моделювання, його вихід та входи.

Відповідно заданій функціональній залежності маємо одну вихідну величину Р та дві вхідні та . Інші можливі входи, наприклад Р ₀, Р ₁, будуть незмінними і не розглядатимуться як входи. Виходячи з місць розташування вихідної величини Р та входів і , можемо визначити межами об’єкту моделювання місця установки регулюючих органів та .

Як розрахункову схему приймемо схематичне зображення об’єкта моделювання, представлене на рис.

Рис. Повітряний ресивер.

 

Таблиця. Початкові умови.

№	Назва	Позначення	Одиниці вимірювання	Величина
	Витрата повітря на вході			41,1
	Витрата повітря на виході			41,1
	Тиск повітря на вході			6
	Тиск повітря в ресивері			4
	Тиск повітря на виході			2
	Ступінь відкриття вхідного клапана		–	0,5
	Ступінь відкриття вихідного клапана		–	0,5
	Температура повітря			20
	Коефіцієнт витрати вхідного клапана			21,6∙103
	Коефіцієнт витрати вихідного клапана			26,47∙103
	Щільність повітря на вході			7,24∙10-6
	Щільність повітря в ресивері			4,82∙10-6
	Добуток			829∙103

 

Таким чином, маємо ізотермічне розширення газу. Вхідною величиною є , а вихідними і .

Складаємо рівняння матеріального балансу:

Враховуючи те, що:

маємо:

.

Цей вираз є рівнянням статики, він пов’язує вихід з входами і . В рівнянні є щільності повітря і , які для ізотермічного розширення визначаються значеннями тиску і . (, – сталі):

Оскільки:

. то, маємо:

звідси:

.

Таким чином:

.

Підвівши до квадрату і здійснивши деякі перетворення отримаємо наступний вираз:

Тоді:

Для тиску , температури та щільностей повітря і на вході в ресивер і в ресивері відповідно, отримаємо:

;

де, ; .

;

;

, см.

Після підстановки даних з таблиці у рівняння (2.30) отримаємо:

Одержаний вираз і є рівнянням статичної моделі для ресивера у явній формі.

Статична характеристика при буде мати наступний вигляд:

.

Статична характеристика повітряного ресивера зображена на рис.

Р, кг/см2

m

 

Рис. Статична характеристика повітряного ресивера

 

Приклад 2. Побудова математичної моделі резервуару під тиском.

Розробити математичну модель резервуару під тиском, якщо його об’єм становить V_р=10,0 м³, витрати повітря на вході F_n=5110 м³/год, коефіцієнт витрат регулюючого органу , тиск Р=0,8 МПа, температура t=25 .

Матеріальний баланс об’єкту керування записується в вигляді:

.

Сталими параметрами нелінійної моделі є об’єм V_р резервуару, газова стала R, коефіцієнт витрати регулюючого органу , стала с, яка залежить від показника адіабати для даного газу.

До змінних параметрів відносяться: тиск Р в резервуарі, який є вихідним для об’єкту керування, температура газу Т, витрати газу F_n, площа поперечного перетину регулюючого органу S_P.

Структурно-логічна схема об’єкта керування зображена на малюнку рис. 4.19..

 

Рис. Структурно-логічна схема об’єкту керування.

 

Рівняння матеріального балансу запишемо в вигляді:

. Змінні параметри:

Функцію розкладемо в ряд Тейлора навколо номінального значення температури :

. Рівняння статики .

Підставляючи це рівняння в рівняння з відхиленнями, після множення та нехтування складовими малої ступені важливості, вилучення рівняння статики матимемо

Приведемо це рівняння до відносних величин, вводячи позначення:

Тоді, розділивши відповідне рівняння на , матимемо:

Позначимо – стала часу;

– коефіцієнти передачі.

Тоді рівняння математичної моделі об’єкту матиме вигляд:

.

Сталу с знаходимо за формулою . Показник адіабати для двохатомних газів k=1,4 (в нашому випадку). Отже, с=0,684.

З рівняння статики знаходимо поперечний перетин регулюючого органу:

м².

Знайдемо сталу часу об’єкту:

c.

Сталу часу знайдено для випадку, коли тиск змінюється від 0,8 МПа до атмосферного. Враховуючи обмежуючі умови на відхилення величини тиску від номінального значення, стала часу буде меншою. Якщо, наприклад, у відповідності до технологічного процесу зміна тиску в резервуарі має бути 20% від номінального значення, стала часу буде c.

Коефіцієнти передачі об’єкта будуть:

;

.

Рівняння математичної моделі матиме вигляд:

Передаточні функції щодо відповідних каналів впливу будуть:

.

Час запізнення об’єкта c.

Час запізнення для такого об’єкта значно менший за сталу часу та для практичних розрахунків ним можна знехтувати.