Приклад 6. Побудова математичної моделі процесу переміщення рідин і газів

Розробити математичну модель об’єкту керування, що являє собою трубопровід, по якому протікає азотно-воднева суміш у співвідношенні 1:1,25. Витрати цієї суміші становлять F_n=250550 м³/год при температурі t=200 , тиску P=50МПа, діаметр трубопроводу D _y =250мм, довжина L=20м. На вході об’єкту встановлено клапан для регулювання тиску (витрат) на його виході. В’язкість водню при t=200 дорівнює 0,045 , азоту 0,0907 .

Густина азоту та водню знаходиться за формулою:

,

– для азоту,

– для водню.

В’язкість газової суміші становить:

, де і – відносні концентрації азоту та водню;

і – молекулярна вага азоту та водню;

і – критичні температури для азоту та водню;

і – коефіцієнти в’язкості азоту та водню.

Нехай концентрація азоту , водню .

В розрахунках приймаємо, що ; .

Тоді

.

кг/м³.

Лінеаризуємо рівняння матеріального балансу:

,

– в’язкість;

– поперечний перетин регулюючого органу;

– газова стала;

Т – температура суміші;

D – діаметр трубопроводу;

L – довжина трубопроводу;

– витрати суміші;

– густина.

Змінними будуть , причому:

Підставивши ці вирази в (4.41), після почленного множення та нехтування складовими малої ваги, вилучення співвідношення статики, приведення до відносної форми, отримаємо наступне рівняння типу:

,

де стала часу об’єкту;

безрозмірні коефіцієнти передачі;

– коефіцієнт передачі об’єкту за каналом ;

– коефіцієнт передачі об’єкту за каналом ;

– коефіцієнт передачі об’єкту за каналом

– коефіцієнт передачі об’єкту за каналом

– коефіцієнт передачі об’єкту за каналом Р T.

де Т ₀ – номінальна температура.

Знак “–” при k₃, k₄ показує, що зміна параметрів z₂, z₃ призводить до протилежної зміни y.

c.

Знаходимо коефіцієнти передачі об’єкту

Обчислюємо сталу часу, коефіцієнти передачі, причому газова стала знаходиться за формулою:

(RT має розмірність в метрах).

Математична модель об’єкту в диференціальній формі має вигляд:

Ця модель відповідає такій структурно-логічній схемі рис.

 

Рис. Структурно-логічна схема об’єкту керування.

 

Час запізнення об’єкту визначається за формулою:

c.

Кожний канал характеризується передаточною функцією, яка визначається з рівняння (2.8):

для P F_n ;

для P

для Р

для Р S_P

Оскільки об’єкт керування має чисте запізнення, яке для всіх каналів береться однаковим, то передаточна функція трубопроводу як об’єкту керування становитиме послідовне з’єднання динамічної ланки та ланки запізнення, тобто:

, де – передаточна функція і-того каналу;

– передаточна функція ланки запізнення.

Передаточні функції для каналів будуть: