Добротность

 

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

 

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F_C направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r. По второму закону Ньютона

где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

- уравнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А₀ и φ₀ - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ - время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D:

 

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

1. Коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

.

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в "e " раз ("е" – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А_зат.(t) и А_зат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда

.

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в "е" раз, называется временем релаксации.

энергия затухающих колебаний------------------

Вынужденные колебания .
Вынужденными колебаниями наз. незатухающие колебания системы, которые вызываются действием внешней периодической силы.
Если сила не будет периодической, то не возникнет и периодических колебаний. Например, если сила постоянна, то возникает статическое отклонение системы. Примеры: колебания гребных винтов, лопаток турбины, качелей при раскачивании, мостов и балок при ходьбе и т.д.
Сила, вызывающая вынужденные колебания, наз. вынуждающей (возмущающей) силой.
Если внешняя вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону , то в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой внешней вынуждающей силы (процесс установления колебаний изображен на рисунке: вынужденные колебания накладываются на свободные затухающие колебания; после того, как свободные колебания прекращаются, остаются только вынужденные).