Введение. по асимптотическим методам в теории

Курсовая работа

по асимптотическим методам в теории

дифференциальных уравнений

 

Выполнил: студентка группы ММ-09-01

Когут Я.П.

 

Проверил: профессор кафедры

дифференциальных уравнений

Остапенко В.А.

 

г. Днепропетровск

2011 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………3

Теоретическая часть …………...…………………………………………...4

Раздел 1. Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы………….......4

1. Система Ляпунова.…………………………………………….4

2. Приведение к каноническому виду. …………………………4

3. Преобразование интеграла H. ………………………………..5

4. Периодичность решений системы Ляпунова. ………………5

5. Теорема Ляпунова. ……………………………………………7

Раздел 2. Условия существования периодических решений.…………..…..10

1. Необходимые и достаточные условия периодичности. …….10

Раздел 3. Метод Ляпунова. ………………………………………………………13

1. Алгоритм. ……………………………………………………..13

Практическая часть ……………………………………………………….16

Список литературы ………………………………………………………..17

Введение.

Метод Ляпунова ─ Пуанкаре посвящен изложению основ классической теории периодических решений дифференциальных уравнений, правые части которых являются аналитическими функциями своих переменных. Эта теория возникла из работ Ляпунова и Пуанкаре в конце 19 века и в последующие десятилетия получила дальнейшее развитие. В ней появились новые точки зрения, расширился круг изучаемых вопросов. Наряду с исследованиями теоретического характера продолжилась дальнейшая разработка методов эффективного построения периодических решений.

Начиная с двадцатых годов прошлого века, теория Ляпунова ─ Пуанкаре благодаря работам Андронова и Мандельштама находит широкое применение в теории колебаний. Большой вклад в дальнейшее развитие классической теории периодических решений сделали И. Г. Малкин и Г. В. Каменков.

В этой курсовой работе будет рассматриваться алгоритм построения периодического решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений

 

Теоретическая часть

Раздел 1.

Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы.

 

Система Ляпунова.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

где и ─ аналитические функции своих переменных в окрестности точки и такие, что их разложение по степеням и начинается с членов, порядок которых не ниже второго:

(1.2)

Систему (1.1) будем называть системой Ляпунова, если выполняются следующие условия:

1) уравнение

(1.3)

имеет чисто мнимые корни ;

2) система (1.1) допускает аналитический первый интеграл

, (1.4)

разложение которого по степеням переменных и начинается с членов второго порядка малости, т. е. функция в окрестности точки является аналитической функцией своих переменных и представима в следующем виде: