Введение. по асимптотическим методам в теории
Курсовая работа по асимптотическим методам в теории дифференциальных уравнений
Выполнил: студентка группы ММ-09-01 Когут Я.П.
Проверил: профессор кафедры дифференциальных уравнений Остапенко В.А.
г. Днепропетровск 2011 г. Содержание Введение………………………………………………………………………3 Теоретическая часть …………...…………………………………………...4 Раздел 1. Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы………….......4 1. Система Ляпунова.…………………………………………….4 2. Приведение к каноническому виду. …………………………4 3. Преобразование интеграла H. ………………………………..5 4. Периодичность решений системы Ляпунова. ………………5 5. Теорема Ляпунова. ……………………………………………7 Раздел 2. Условия существования периодических решений.…………..…..10 1. Необходимые и достаточные условия периодичности. …….10 Раздел 3. Метод Ляпунова. ………………………………………………………13 1. Алгоритм. ……………………………………………………..13 Практическая часть ……………………………………………………….16 Список литературы ………………………………………………………..17 Введение. Метод Ляпунова ─ Пуанкаре посвящен изложению основ классической теории периодических решений дифференциальных уравнений, правые части которых являются аналитическими функциями своих переменных. Эта теория возникла из работ Ляпунова и Пуанкаре в конце 19 века и в последующие десятилетия получила дальнейшее развитие. В ней появились новые точки зрения, расширился круг изучаемых вопросов. Наряду с исследованиями теоретического характера продолжилась дальнейшая разработка методов эффективного построения периодических решений. Начиная с двадцатых годов прошлого века, теория Ляпунова ─ Пуанкаре благодаря работам Андронова и Мандельштама находит широкое применение в теории колебаний. Большой вклад в дальнейшее развитие классической теории периодических решений сделали И. Г. Малкин и Г. В. Каменков. В этой курсовой работе будет рассматриваться алгоритм построения периодического решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений
Теоретическая часть Раздел 1. Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы.
Система Ляпунова. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1.1) где и ─ аналитические функции своих переменных в окрестности точки и такие, что их разложение по степеням и начинается с членов, порядок которых не ниже второго: (1.2) Систему (1.1) будем называть системой Ляпунова, если выполняются следующие условия: 1) уравнение (1.3) имеет чисто мнимые корни ; 2) система (1.1) допускает аналитический первый интеграл , (1.4) разложение которого по степеням переменных и начинается с членов второго порядка малости, т. е. функция в окрестности точки является аналитической функцией своих переменных и представима в следующем виде:
|