Периодичность решений системы Ляпунова.Докажем теперь, что существует периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это решение ─ периодические функции . Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет знак. Для этого введём полярные координаты ; и заметим, что любая замкнутая траектория должна быть периодической функцией аргумента . Составим выражение для : (1.11) Здесь ─ аналитическая функция , разложение которой имеет вид Следовательно, в формуле (1.11) функция может быть представлена в виде ряда , причем, все коэффициенты ─ полиномы от и , т. е. периодические функции . Таким образом, выражение (1.11) можно переписать так: Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для определения . Используя аналитичность функций, которые в него входят, будем функцию разыскивать в виде ряда , i =1, 2. (1.12) Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты в разложении (1.12) являются полиномами от и . Так, например, , Таким образом, коэффициенты ─ степенные функции коэффициентов , а последние в свою очередь являются полиномами от и . Вследствие такой структуры коэффициентов ряд (1.12) определяет периодическую функцию периода , т. е. при изменении на величина возвращается к своему исходному значению. Если при этом окажется, что сохраняет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая. Таким образом, решения системы (1.8) ─ функции и ─ будут периодическими функциями времени. Функции и являются аналитическими по параметру . В самом деле, в силу аналитичности правых частей системы (1.8) её решения будут аналитическими функциями начальных значений , . Постоянная так же определяется этими значениями . (1.13) Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то без ограничений общности начальные условия можно записать в виде , . (1.14) Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой аналитические функции .
|