Студопедия — Периодичность решений системы Ляпунова.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Периодичность решений системы Ляпунова.






Докажем теперь, что существует периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это решение ─ периодические функции . Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет знак. Для этого введём полярные координаты

;

и заметим, что любая замкнутая траектория должна быть периодической функцией аргумента . Составим выражение для :

(1.11)

Здесь ─ аналитическая функция , разложение которой имеет вид

Следовательно, в формуле (1.11) функция может быть представлена в виде ряда

,

причем, все коэффициенты ─ полиномы от и , т. е. периодические функции . Таким образом, выражение (1.11) можно переписать так:

Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для определения .

Используя аналитичность функций, которые в него входят, будем функцию разыскивать в виде ряда

, i =1, 2. (1.12)

Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты в разложении (1.12) являются полиномами от и . Так, например,

,

Таким образом, коэффициенты ─ степенные функции коэффициентов , а последние в свою очередь являются полиномами от и . Вследствие такой структуры коэффициентов ряд (1.12) определяет периодическую функцию периода , т. е. при изменении на величина возвращается к своему исходному значению. Если при этом окажется, что сохраняет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая.

Таким образом, решения системы (1.8) ─ функции и ─ будут периодическими функциями времени.

Функции и являются аналитическими по параметру . В самом деле, в силу аналитичности правых частей системы (1.8) её решения будут аналитическими функциями начальных значений

, .

Постоянная так же определяется этими значениями

. (1.13)

Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то без ограничений общности начальные условия можно записать в виде

, . (1.14)

Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой аналитические функции .







Дата добавления: 2015-08-10; просмотров: 344. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Задержки и неисправности пистолета Макарова 1.Что может произойти при стрельбе из пистолета, если загрязнятся пазы на рамке...

Вопрос. Отличие деятельности человека от поведения животных главные отличия деятельности человека от активности животных сводятся к следующему: 1...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Почему важны муниципальные выборы? Туристическая фирма оставляет за собой право, в случае причин непреодолимого характера, вносить некоторые изменения в программу тура без уменьшения общего объема и качества услуг, в том числе предоставлять замену отеля на равнозначный...

Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...

Виды и жанры театрализованных представлений   Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия