Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема Ляпунова.





Теперь вычислим период, для этого составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют переменные ρ и θ. Вычислим

(1.15)

Заменяя в системе (1.15) производные и их выражениями из уравнений (1.8) и разрешая полученную систему относительно производных и , найдем искомые уравнения

(1.16)

Из второго уравнения определим t:

(1.17)

Для того чтобы удовлетворить условиям (1.13), необходимо константу (1.17) принять равной нулю. Используем тот факт, что ρ - аналитическая функция μ. Это позволит разложить подынтегральную функцию в выражении (1.17) в ряд по степеням μ

(1.17’)

где - периодические функции θ периода 2π. Следовательно, подынтегральная функция в (1.17’) также периодическаяфункцияθ периода 2π. Следовательно, интеграл

не зависит от θ0 и его можно записать в виде

,

где - вполне определенные числа. Таким образом, при измени θ; на 2π время t получает приращение Т

, (1.18)

не зависящие от θ0.

Пусть теперь Ф(θ) – некоторая периодическая функция θ периода 2π, тогда

. (1.19)

Рассматривая ее как функцию t, будем иметь

. (1.20)

Равенство (1.19) справедливо для любых θ, следовательно, и равенство (1.20) справедливо для любых t, т. е. Ф(t) – периодическая функция t. Значит, величина Т, определенная формулой (1.18) как функция μ, и есть период решения.

Используя (1.17), мы можем записать его в следующем виде:

где период Т стремится к периоду линейных колебаний 2π/λ, т. е. к периоду колебаний в системе (1.8) при .

Покажем теперь, что Т- четная функция μ. Вернемся сова к интегралу (1.11). рассматривая его как уравнение относительно ρ, мы получаем в окрестности точки ρ=0 два решения. Одно из них

(1.21)

другое

(1.21’)

Теперь заметим, что левая часть уравнения (1.11) не изменится, если заменим ρ на -ρ и θ на θ + 2π. Следовательно, на основании (1.21) будем иметь

(1.22)

Значение ρ, определенное рядом (1.22), будет корнем уравнения (1.11), не совпадающее с (1.21) (потому, что для малых ρ из (1.21) следует ρ = μ+О(μ2), а из (1.22) ρ = - μ+О(μ2)). Следовательно, оно будет определяться рядом (1.21’).

Сравнивая (1.21’) и (1.22), получаем

и т.д.

Отсюда следует, что если в выражении (1.21) заменить μ на – μ, а θ на θ + π, то величина ρ примет свое значение с обратным знаком:

.

Выпишем теперь выражение для периода Т. На основании (1.17) имеем

. (1.23)

Сделаем замену в (1.23) замену μ на –μ, а θ на θ + π. Тогда получим величину

.

Согласно доказанному величины и сохраняют свои значения. Следовательно, то же самое можно сказать и о функциях Х и Y. В то же время , и изменяют свои знаки. Следовательно, знаменатель изменит знак на обратный, но и числитель изменит знак на обратный. Следовательно,

.

Итак,

,

т. е. период – четная функция величины μ.

Таким образом, выше было доказано теорему Ляпунова, а теперь сформулируем ее.

Теорема Ляпунова.

Если постоянная достаточно мала, то все решения системы уравнения (1.8) ─ периодические функции t, причем период ─ четная функция величин и при стремится к. Решения системы (1.8) являются аналитическими функциями величины c ─ начального отклонения переменной x.

Имея в виду формулу

выражение периода можно переписать в следующем виде:

(1.24)

 

Раздел 2.

Условия существования периодических решений







Дата добавления: 2015-08-10; просмотров: 355. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Вопрос. Отличие деятельности человека от поведения животных главные отличия деятельности человека от активности животных сводятся к следующему: 1...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия