Методика аппроксимации экспериментальных данных

Аппроксимация табулированных экспериментальных данных на отрезках оси времени проводится с используются полиномов невысоких порядков.

Рассмотрим в качестве аппроксимирующей функции f(t) полином степени n

(2.6)

где t - локальная (в пределах nz отрезка) координата времени;

n – порядок полинома.

Будем минимизировать d - сумму квадратов невязок (рассогласований значений заданной и аппроксимирующей функций) во всех jm точках отрезка времени

. (2.7)

где f – значение аппроксимируемой табулированной функции;

f(t,a) - значение аппроксимирующей функции (полином);

j - – индекс момента времени.

Согласно теории необходимым условием минимума функции d является равенство нулю ее частных производных

. (2.8)

Развернув (2.8) получаем систему уравнений (2.9) для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома a₀, a₁, a₂,…,a_n.

(2.9)

Путем формальных преобразований система уравнений (2.9) приводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (2.10) с матрицей Грамма вида:

(2.10)

Для формирования матрицы Грамма можно использовать процедуру Gram(N,A,X,Y,M,K).

Решение полученной СЛАУ можно проводить прямым методом Гаусса с выбором главного элемента с использованием процедуры Gauss(M, A, X, S).

(2.11)

При проведении аппроксимации в среде Excel можно использовать линию тренда как показано на рис.2.4

j	t	f(t)
	0,00	0,0000
	0,25	0,1864
	0,50	0,3663
	0,75	0,5333
	1,00	0,6816
	1,25	0,8061
	1,50	0,9023
	1,75	0,9668
	2,00	0,9975
	2,25	0,9932
	2,50	0,9541
	2,75	0,8815
	3,00	0,7781
	3,25	0,6473
	3,50	0,4939

 

Оценку эффективности аппроксимации можно проводить визуально, но лучше использовать оценку R². Желательно получать величину R² как можно ближе к 1. Для этого необходимо менять порядок аппроксимирующего полинома.

Проведя дифференцирования полученного выражения для аппроксимирующего полинома получим необходимые выражения для производных.

Когда правые части уравнений (2.2) или (2.4) включают выражения для воздействия и производную от воздействия следует использовать модифицированную запись уравнений (2.2) и (2.4):

, (2.12)

(2.13)

где .

Апроксимация зависимости F(t) проводится описанными методами.