Коэффициенты корреляции рангов
Наряду с r и η для измерения тесноты зависимости между коррелируемыми показателями часто используются так называемые эмпирические показатели, которые называются коэффициентом корреляции рангов: 1. Коэффициент Спирмэна (p) 2. Коэффициент Кендэла (τ) Оба эти показателя основаны на корреляции не самих значений (х и у), а их рангов. Коэффициент корреляции рангов Спирмэна Для расчета коэффициентов корреляции рангов Спирмэна значения случайных величин х и у нумеруются (каждое отдельно) в порядке возрастания (или убывания) от 1 до n, т.е. им присваивается определенный ранг (Nх и Nу) – порядковый номер в ряду. Если встречается несколько одинаковых значений х (или у), то каждому значению присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов, приходящихся на эти значения, на число этих равных значений. Затем ранги отдельных значений факторного признака сопоставляются с рангами результативного признака. Разность рангов (Nx-Ny) обозначают d. Степень тесноты связи между изучаемыми признаками в этом случае можно определить по формуле Спирмэна
где d – разность рангов х и у n – число пар наблюдений. Коэффициент корреляции рангов Спирмэна р находится в пределах от 0 до ±1. Когда ранги результативного признака полностью совпадают с рангами факторного признака, то каждое значение Nx=Ny и ∑d2=0, тогда р = 1, то можно говорить о почти полной прямой связи. Если ранги идут строго в противоположном направлении, т.е. первому рангу фактора х соответствует n-й ранг (последний) результативного признака у, второму рангу х соответствует n-1 ранг у и т.д., то в этом случае максимальная величина будет равна
может иметь максимальное значение 2. И тогда по формуле Спирмэна р=-1, что свидетельствует почти о полной обратной связи между х и у. Если же связь между изменениями х и у отсутствует (р=0), то очевидно, в этом случае должно наблюдаться равенство.
Этот показатель менее точен по сравнению с r и η. Расчет показателя прост, поэтому ему отдают предпочтение.
Пример.
Находим коэффициент Спирмэна Зависимость между стоимостью основных фондов и выпускаемой продукции сильная. Коэффициент Кендэла (τ) Для расчета значения ранжируются. Затем определяют меру соотношения последовательности рангов у последовательности рангов х. При этом для каждого ранга у определяют число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Сумму чисел таких превышений обозначаем Р и будем считать со знаком (+). Аналогично для каждого ранга (у) определяют число следующих за ним рангов, имеющих значение меньше его величины. Сумма чисел таких случаев обозначаем через Q и будем считать со знаком (-). Очевидно, что Р достигает максимума в том случае, если ранги у точно совпадают с рангами х. Если число пар рангов равно n, то максимальное значение слагаемого Р будет равно: Рmax=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=n(n-1)/2 Соответственно слагаемое Qmax тоже имеет максимум абсолютного значения, если последовательность вариантов у имеет обратную тенденцию по отношению к последовательности рангов вариантов х.
Коэффициент Кендэла (τ) предполагает измерение меры соот-ия последовательности рангов двух переменных путем сравнения общего итога ∑ положительных и отрицательных баллов (S=P+Q) с максимальным значением одного из слагаемых, т. е.
Пример:
Рассчитаем коэффициент Кендэла у: Р= 9+7+7+6+5+3+3+2+1=43 х: Q=0+(-1)+0+0+0+(-1)+0+0+0=-2 S=43-2=41 Тогда Получаемый коэффициент свидетельствует о значительной тесноте зависимости между изменениями значений х и у. Данная формула применима для тех случаев, когда отдельные значения признака (х и у) не повторяются и следовательно, их ранги не объединены.
|
