Множення векторів

Добутком вектора на число λ; називається вектор

Добутком вектора на число є колінеарний йому вектор , спів напрямлений з вектором , якщо , і напрямлений протилежно до нього, якщо .

Якщо , то .

 

Скалярним добутком векторів і у просторі називається число (скаляр), яке дорівнює сумі добутків відповідних координат заданих векторів.

Властивості скалярного добутку:

1)

2)

3)

Наслідки з властивості 3:

3.1) Знаючи координати двох векторів, можна знайти косинус кута між ними:

3.2) Умова перпендикулярності двох векторів: два вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю:

 

Зв'язок кута між векторами та їх скалярного добутку:

3 Розкладання вектора на складові.

Одиничні вектори – це вектори, модулі яких дорівнюють одиниці. Координатні вектори (орти) напрямлені вздовж осей координат:

.

 

Довільний вектор можна розкласти єдиним способом за координатними векторами, тобто утворити лінійну комбінацію з ними.

Коефіцієнти розкладу є проекціями вектора на відповідні осі координат.

Компланарними називаються вектори, які паралельні одній і тій самій площині.

Нехай , і – некомпланарні вектори (непаралельні одній площині), а – довільний вектор простору.

Завжди існує розклад, тобто лінійна комбінація векторів , і , через які виражається вектор : , де – єдині.

 

II Запитання для самоперевірки

1 Що таке вектор? Що таке абсолютна величина вектора?

2 Які вектори називаються спів напрямленими, а які протилежно напрямленими?

3 Які вектори називаються рівними? Протилежними?

4 Яка умова рівності векторів, заданих координатами?

5 Що називається сумою (різницею) векторів і .

6 Яка умова належності точок , і одній прямій?

7 Які вектори називаються колінеарними? Яка умова колінеарності ненульових векторів?

8 Що називається добутком вектора на число?

9 Які вектори називаються компланарними?

10 За якої умови будуть компланарними вектори , і ?

11 Що таке скалярний добуток векторів? Якими властивостями він володіє?

12 Як знайти кут між векторами?

13 Яка умова ортогональності двох ненульових векторів?