Завдання № 2

Система телефонного зв'язку розглядається як система масового обслуговування. Каналом обслуговування є оператор (диспетчер) разом з лінією зв'язку, по якій він здійснює прийом повідомлень (кожен оператор може здійснювати прийом повідомлення по будь-якій лінії зв'язку).

Кількість каналів обслуговування n у варіантах системи масового обслуговування, що розглядається, є:

- для варіанта 1: n = D₁ = L₁;

- для варіанта2: n = D₂ (D₂ < L₂).

1-й і 2-й варіанти відносяться відповідно до двох типів:

- система масового обслуговування з відмовами;

- система масового обслуговування з чергою.

Коли всі канали зайняті, повідомлення не можуть надходити в систему масового обслуговування, яка відповідає варіанту 1. Якщо в момент, коли всі канали задіяні, повідомлення надходять в систему масового обслуговування, яка відповідає варіанту 2, то воно стає в чергу на обслуговування (поки не звільняється один з операторів). При цьому кожна з ліній зв'язку (L₂ - D₂), по яких не приймається повідомлення на даний момент, представляє собою місце в черзі. Коли одночасно задіяні всі канали обслуговування і всі місця в черзі, повідомлення не можуть надходити в систему. Це означає відмову в обслуговуванні.

Варіант 1 є одним із випадків варіанту 2, в якому кількість місць в черзі дорівнює «0». Таким чином, у варіантах, що розглядаються, число m місць в черзі має бути:

— для варіанта 1: m = 0;

— для варіанта 2: m = L₂ - D₂.

Параметри n та m (визначені) дозволяють скласти перелік варіантів можливого стану n -канальної системи масового обслуговування з m місцями в черзі (Е₀, Е₁, Е₂, …, Е_n) і пронумерованих по кількості повідомлень, що знаходяться в системі масового обслуговування (котрі обслуговуються або знаходяться в черзі):

— Е₀ - всі канали та місця в черзі вільні;

— E_k (k = 1, 2,3 ,..., n) - задіяні k каналів; черги немає;

— E_k (k=n+1, п+2,… n+m) - задіяні всі n каналів; n - m - повідомлень чекають в черзі.

Сукупність можливих варіантів стану системи масового обслуговування та переходи між ними, що припускаються, відображаються у вигляді графа.

Зображені в колах вершини графа відповідають варіантам стану системи. Лінії графа зв'язують вершини, між якими можливі безпосередні переходи в напрямку стрілок. Якщо в деякий момент часу система знаходиться в стані Е_k, в якому одночасно обслуговується певна кількість S повідомлень, то з цього стану можливі два переходи: перехід вправо в стан Е_k+1 у випадку надходження чергового повідомлення (щільність переходу λ), або перехід вліво в стан Е_k-1 у випадку закінчення обслуговування однієї з S заявок (щільність таких переходів дорівнює S/t_обс). Момент надходження повідомлень в систему масового обслуговування і протяжність часу їх обслуговування є випадковими, тому і процес роботи системи (знаходження системи в тому чи іншому стані) має випадковий характер, якому властиві імовірні закономірності.

Імовірність знаходження системи масового обслуговування Р_k в будь-яку мить в певному стані Е_k визначається за формулами Ерланга:

 

 

- для к=1, 2, 3, …, n

 

- для к=n+1, n+2, …, n+m

 

де “α” - приведена щільність потоку повідомлень, яка показує середню кількість повідомлень, що надходять в систему на інтервалі часу, який дорівнює середньому часу обслуговування одного повідомлення.

Розрахунок параметру α; здійснюється за формулою:

 

 

З метою перевірки розрахунків імовірності Р_k використовується співвідношення між ними:

 

 

Відмічається, що для n-канальної системи масового обслуговування з відмовами (варіант 1) сукупність можливих варіантів стану складає Е₀, Е₁, Е₂,... Е_n (тому що m=0). При знаходженні імовірності P₀ за формулою визначається тільки сума, яка знаходиться в перших дужках і має (n+1) складових.

Характеристика ефективності системи обох типів, що розглядаються, визначаються за формулами:

1. Імовірність відмови повідомленню в обслуговуванні Р_відм (середня частота повідомлень, що не були обслуговувані в потоці повідомлень):

 

Р_відм=Р_n+m

 

2. Відносна пропускна спроможність системи масового обслуговування (середня частота повідомлень, які обслуговувались системою в потоці повідомлень):

 

q=1-P_відм

 

3. Абсолютна пропускна способність системи «1» (середня кількість повідомлень, яку спроможна обслужити система за одиницю часу):

 

А=λ·q (повідомл./од.часу)

 

4. Середня тривалість інтервалів часу між послідовними моментами виникнення відмов в обслуговуванні Т_відм:

 

 

Відбір раціонального варіанту побудови системи телефонного зв’язку (системи мосового обслуговування) треба проводити з урахуванням бажання досягти щонайвищої ефективності системи, яка виявляється в низькому значенні Р_відм і високих значеннях велечин q, A, Т_відм та з урахуванням прагнення до зменшення витрат, що примушує обмежуватися достатнім рівнем ефективності (наприклад, вимогою того, щоб Р_відм < 0,001), і шукати економічно доцільні шляхи його досягнення.