Краткий обзор существующих работ

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ

ФИЛЬТРАЦИОНЫЕ

ПОТОКИ

НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ И УСТАНОВИВШЕЙСЯ

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

 

Краткий обзор существующих работ

Многочисленные работы [1-22 и др.], посвященные задачам пространственной теории фильтрации жидкостей и газов в пористой среде, свидетельствуют о большом практическом интересе к ним при проектировании, разработки и эксплуатации нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Сделаем краткий обзор и критический анализ основных работ, относящихся к задачам установившегося и неустановившегося притока пластовой жидкости и газа к гидродинамически несовершенным скважинам. Впервые задача о распределении потенциала скорости фильтрации при установившемся движении в полубесконечном цилиндрическом пласте, частично вскрытом скважиной, была решена М. Маскетом в 1932 году. Затем более детальное исследование этой задачи М. Маскет изложил в своей монографии [1, 1946]. Используя метод отображения, он получил решение для точечного стока в неограниченном пласте с непроницаемой кровлей. Таким же способом П.Я. Полубаринова-Кочина вывела расчетные формулы для дебита наклонной, горизонтальной и вертикальной скважин.

Более сложными оказались задачи о распределении потенциала скоростей фильтрации в ограниченном пласте при работе несовершенной скважины. Здесь так же, как и в случае неограниченного пласта, был использован метод отображения стоков (источников) и суперпозиции полей. М. Маскет исследовал также установившийся приток к скважине, несовершенной по степени вскрытия пласта конечной толщины. Применяя метод бесконечного отображения элементарного стока с заданной интенсивностью вдоль линии поглощения (ось вертикальной скважины) относительно непроницаемых кровли и подошвы и суммируя члены для отдельных стоков, после соответствующих преобразований М. Маскет получил приближенное решение о распределении потенциала в пласте.

На основе исследований М. Маскета о распределении потенциала в цилиндрическом пласте И.А. Чарный предложил оригинальный метод решения задачи о притоке к несовершенной скважине по двухзонной схеме. Идея И.А. Чарного об условном разделении потока на «зоны» в последствии получила широкое применение при решении многих задач подземной гидрогазодинамики.

Производя критический анализ работ, посвященных притоку пластовой жидкости к несовершенной скважине, В.Н. Щелкачев (1949) указывал на необходимость дополнительных теоретических и лабораторных исследований и промысловых испытаний с целью обобщения формул для коэффициента совершенства при притоке однородных жидкостей на случай притока газа и газированных жидкостей. При этом подчеркивалось, что степень и характер совершенства скважины существенно влияют на величину давления на забое. До того времени этот факт исследователями недооценивался.

Основы теории притока к несовершенной скважине по характеру вскрытия были заложены М. Маскетом в 1943 году [1]. Затем появляются работы М.И. Тихова [2, 1947] и А.Я. Хейна [3, 1953] в более точной постановке задачи М. Маскета, где формулируется основной закон об оптимальном числе перфораций. В 1954 году А.Л. Хейн разработал теорию установившегося притока жидкости и газа к несовершенной скважине с меридиально-симметричной конструкцией забоя, после чего последовал ряд его же работ, посвященных задачам установившегося и неустановившегося притока жидкости и газа к несовершенным скважинам при линейном и нелинейном законах фильтрации [4].

Новая и наиболее общая математическая постановка задачи о прито­ке несжимаемой жидкости к скважине, полностью обсаженной и перфорированной, изложена М.Н. Тиховым [2]. Однако эти решения весьма сложны и не доведены до практического применения. Заслуживают внимания решения М.М Глотовского [5] для притока к несовершенной скважине по степени и характеру вскрытия, И.А. Чарного [6] для притока к скважине, обсаженной по всей толщине однородно-анизотропного пласта и перфорированной в верхней части, A.M. Пирвердяна [7] для притока к вертикальной, горизонтальной и наклонной скважинам, Ю.И. Стклянина и А.П. Телкова [8] для несовершенной скважины по степени вскрытия однородно-анизотропного и многослойного пластов.

Ряд сложных задач был решен с помощью электромоделирования. Так, В.И. Щуров методом электролитического моделирования исследовал распределение потенциала в пласте, вызванного работой несовершенной скважиной по степени и характеру вскрытия пласта. По данным опытов построена сетка кривых, позволяющая определять величину фильтрационного сопротивления. За последнее время появились работы, в которых рассматриваются вопросы определения коэффициента совершенства, влияние частичного вскрытия пласта и скин-эффекта на кривую восстановления забойного давления и продуктивность скважины; предлагаются наиболее эффективные методы определения фильтрационных сопротивлений, обусловленных несовершенством скважин [9-12].

Во всех указанных работах рассматривались задачи установившегося притока однородной несжимаемой жидкости и газа в недеформируемом однородном или однородно-анизотропном пласте по линейному закону фильтрации к несовершенной скважине. В принципе задача об установившемся притоке жидкости и газа к несовершенной скважине разработана достаточно удовлетворительно. В более общей постановке задача о притоке однородной или «фиктивной» жидкости к несовершенной скважине могла быть сформулирована следующим образом: на внешнем контуре задается некоторая функция; на непроницаемых кровле и подошве – ее производная, равная нулю; в перфорированной части – известная функция, в неперфорированной – ее производная, равная нулю. Требуется найти распределение функции (давление, потенциал, функция Лейбензона, функция Христиановича) в пласте. В точной постановке – это задача Гильберта-Римана, аналитическое решение которой для данного случая пока не получено.

Еще большие трудности встречают задачи неустановившегося притока жидкости и газа к гидродинамически несовершенным скважинам. Насколько нам известно, эти задачи рассматривались ограниченным кругом авторов. Обширные исследования неустановившегося притока жидкости и газа к гидродинамически несовершенным по характеру вскрытия пласта скважинам впервые были проведены А.Л. Хейном [3, 4]. Для притока жидкости и газа к несовершенным скважинам по степени вскрытия известны работы М.Т. Абасова и К.Н. Джалилова [13], Е.М. Минского [14], Ю.И, Стклянина [8], Ю.И. Максимова [15], У.П. Куванышева [16], R.G. Nisle [17]. В.Н. Щелкачев и С.Н. Назаров предложили простую приближенную методику учета обеих видов несовершенства скважин и изменения проницаемости в призабойной зоне в условиях упругого режима пласта |18, 19]. E.С. Казарина впервые рассмотрела задачи о притоке к гидродинамически несовершенным круговой и прямолинейной галереям и объемной полосе стоков [20]. Однако широкого практического применения некоторые из указанных решений не получили, хотя они и имеют неоспоримый теоретический интерес. В частности, они не могут быть использованы при обработке кривых нарастания (падения) забойного давления, поскольку их нельзя представить прямолинейной анаморфозой. В связи с этим в основу гидродинамических методов исследования несовершенных скважин и интерпретации результатов положены аналитические решения уравнения пьезопроводности для гидродинамически совершенных скважин, в которые искусственным путем вводятся дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные несовершенством скважины по степени и характеру вскрытия пласта. Причем фильтрационные сопротивления по степени вскрытия берутся из решений для установившегося притока к совершенной скважине. До сих пор указанные допущения в подземной гидрогазодинамике никем не исследовались даже для условий однородного пласта.

В работе С.Г. Каменецкого и др. [21] получены точные, но громоздкие решения неустановившегося притока жидкости к совершенной скважине конечного радиуса, дренирующий бесконечный по протяженности однородный пласт. При этом предполагалось, что в начальный момент имеет место установившаяся фильтрация и распределение давления в пласте удовлетворяет уравнению Лапласа. Для изменения давления в пласте при переменном дебите решение получено в виде интеграла Дюамеля. В работе приведена также формула для притока жидкости к забою при произвольном изменении забойного давления.

С помощью функции Грина М. Маскет [1] решил задачу о распределении потенциала (плотности) в бесконечном по протяженности пласте, вызванным синхронно работающими с суммарным дебитом линейными стоками, расположенными непрерывно по окружности. Аналогичная задача для кольца стоков (источников), т. е. для укрупненной скважины, решена И.А. Чарным [22].

Мы рассмотрим задачи неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к точечному источнику (стоку) в пространстве, к линии стоков (источников), кольцевому стоку и несовершенной скважине в ограниченном и бесконечном по протяженности и конечном по толщине однородно-анизотропных пластах и взаимодействие скважин при постоянных и переменных дебитах. Закон фильтрации примем линейным.

 

8.2. Построение обобщенного дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации однородной жидкости и газа в пористой среде при изотермическом процессе

Дифференциальные уравнения движения сжимаемой однородной жидкости и газа при установившемся неустановившемся изотермическом процессах хорошо известны. Ниже дается упрощенный вывод обобщенного дифференциального уравнения движения, из которого получается ряд уравнений для частных случаев. Кроме того, указаны методы решения и пути использования их в нефтегазопромысловой практике.

 

8.2.1. Неустановившееся изотермическое движение сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде. Неизвестными функциями являются: давление ; вектор скорости фильтрации ; плотность или удельный объемный вес ; пористость пласта .

Уравнение неразрывности записывается в виде

(8.2.1)

Уравнение состояния для упругой жидкости и пористости суть:

(8.2.2)

Здесь

r ₀ и т ₀–плотность и коэффициент пористости при начальном давлении Р ₀;

β;_ж и b _с – коэффициенты сжимаемости жидкости и скелета пористой среды.

Введем обобщенную функцию и продифференцируем ее:

(8.2.3)

С учетом (8.2.2) и (8.2.3) уравнение (8.2.1) принимает вид

(8.2.4)

Здесь

b^* – коэффициент упругоемкости пласта.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Движение плоскорадиальное неустановившееся, жидкость вязкая упруго-капельная, пласт однородный: r(Р)=r ₀= const; m(Р)=m = const; K_i(P)=K = const. Из уравнения (8.2.4) следует известное уравнение пьезопроводности

(8.2.5)

Здесь

æ; – коэффициент пьезопроводности пласта.

2. Движение неустановившееся, плоскорадиальное, пласт однородно-анизотропный (К_r/К_z). Уравнение (8.2.4) принимает вид

(8.2.6)

æ;^* – коэффициент анизотропии пласта.

3. Движение установившееся, жидкость несжимаемая: r(Р)=r ₀=const; дР/dt= 0. Из уравнения (8.2.4) следует известное уравнение Лапласа .

4. Движение неустановившееся, жидкость упруго-капельная, вязкопластичная, r(Р)=r ₀= const. Коэффициент подвижности K / m есть [23]

(8.2.7)

где

К ₀ и m ₀ – параметры для вязкопластичной жидкости с ослабленными структурно-механическими свойствами, т. е. когда создаваемый градиент сдвига достиг второго начального предельного градиента (grad P ₊₊) [23].

С учетом выражений (8.2.3) и (8.2.7) уравнение (8.2.4) запишется в виде

; ; . (8.2.8)

Для функции (10.2.7) предложены различного вида аппроксимации. Б.И. Султанов для вязкопластичной жидкости предложил соотношение

(10.2.9)

где

– предельный перепад давления сдвига, определяемый по экспериментальным данным;

Р ₀ – предельное давление сдвига;

Р и Р _с – пластовое и забойное давление.

Взяв производную функцию (8.2.8) с учетом выражения (8.2.9), из уравнения (8.2.8) получаем

(8.2.10)

Как видим, уравнение (8.2.10) нелинейное и требует численного интегрирования. Линеаризация этого уравнения, очевидно, возможна при режиме пласта Тогда уравнение (8.2.10) представляет собой уравнение пьезопроводности, решение которого хорошо известно. Переход к давлению после нахождения функции можно осуществить по формуле, получаемой интегрирование функции (8.2.8) с учетом выражения (8.2.9) в пределах от Р ₀ до Р:

. (8.2.11)

Нетрудно видеть, что при из формулы (8.2.11) следует а уравнение (8.2.10) обращается в уравнение пьезопроводности. Предложены также более точные аппроксимации функции (8.2.7), интерпретация которых может быть произведена аналогичным образом [23].

Для установившегося движения из уравнения (8.2.8) следует уравнение Лапласа для функции , т. е. .

 

8.2.2. Изотермическая фильтрация реального газа. Принимается: температура пласта постоянной, Т = const; коэффициент сверхсжимаемости газа Z=Z (P,T); коэффициент вязкости m=m(Р,Т); коэффициенты проницаемости K = const и пористости т ₀= const. Тогда, учитывая уравнение состояния реального газа и обобщенную функцию (8.2.3), из уравнения неразрывности (8.2.1) получаем

(8.2.12)

Преобразуя уравнение (8.2.12) с учетом дифференциала dР, находим

(8.2.13)

Нелинейное уравнение (8.2.13) является основным дифференциальным уравнением фильтрации газа и носит название обобщенное уравнение Лейбензона. Одним из методов решения подобных уравнений является метод линеаризации, широко освещенный в литературе [6 и др.]. Если усреднить и , то из формулы для Р (8.2.12) следует известная функция Лейбензона, подстановка которой в уравнение (8.2.12) дает

(8.2.14)

Получили нелинейное дифференциальное уравнение Лейбензона для фильтрации идеального газа, аналогичное уравнению Буссинеска.

Разделив левую и правую части уравнения (8.2.14) на удельный объемный вес , получаем:

(8.2.15)

где

Н – напор;

С – коэффициент фильтрации;

У – высота положения.

Уравнение (8.2.15) носит название дифференциального уравнения гидравлической теории нестационарного безнапорного притока Буссинеска. Одним из методов решения подобных уравнений является метод линеаризации Лейбензона [6].

В связи с открытием месторождений природного газа, в смеси которого содержится большое количество кислых компонентов, таких как сероводород, углекислый газ, азот, возникает необходимость учета реальных свойств газа при обработке КВД и определении параметров пласта. С учетом реальных свойств газа для случая K_i = K = const функцию (8.2.12) можно преобразовать к следующему виду:

(8.2.16)

(8.2.17)

где

– приведенные критические давление и температура;

m _см – коэффициент динамической вязкости смеси природного газа в атмосферных условиях;

m ₀ – поправка на вязкость за счет содержания компонентов;

α; – поправка на сжимаемость газа, учитывающая содержание в смеси кислых компонентов.

Имея опытные данные для определения коэффициентов вязкости и сверхсжимаемости, можно рассчитать функцию (8.2.16). Результаты таких расчетов путем численного интегрирования функции J ₀ приведены в диапазоне параметров: концентрация компонентов (СО ₂+ H ₂ S)=10¸60% [24, 24а].

 

8.2.3. Фильтрация газоконденсатной смеси. Для гомогенной жидкости уравнения (8.2.8) записываются в виде:

(8.2.18)

,

где

(8.2.19)

(8.2.20)

Н ^* – потенциальная функция Лейбензона-Христиановича;

K _к (s) и K _г (s) – фазовые проницаемости для конденсата и газа, как функции конденсатонасыщенности s;

m _к; m _г – коэффициенты абсолютной вязкости конденсата и газа в пластовых условиях;

r _см – плотность газоконденсатной смеси в пластовых условиях;

s _г – насыщенность пористой среды газом;

В _к и В _г – объемные коэффициенты фаз;

a _гк – коэффициент растворимости газа в конденсате;

– потенциальные функции, соответствующие давлениям начала конденсации Р _нк и на забое скважины Р _с.

Уравнения (8.2.8), (8.2.10), (8.2.13), (8.2.14) и (8.2.15) могут быть записаны в цилиндрических координатах по аналогии с уравнением (8.2.6).

 

8.2.4. Обобщение уравнений. Неустановившийся приток к несовершенной скважине. Анализируя приведенные уравнения можно заметить, что структура и методы решения их одинаковы. Это позволяет обобщить их в одно уравнение для однородной «фиктивной» жидкости с некоторой «фиктивной» потенциальной функцией Ф. Тогда, согласно В.Н. Щелкачеву [25], обобщенное уравнение фильтрации может быть записано в унифицированной форме

(8.2.21)

Отсюда следует:

а) при a =0, x = Х и j =0 — уравнение для прямолинейного одномерного потока

(8.2.22)

б) при a =1, x = r и j =1 — уравнение притока в цилиндрических координатах

(8.2.23)

в) при a =2, x = r и j =0 — уравнение для сферического потока

(8.2.24)

Как известно [8], в области, содержащей стоки (источники), потенциал j удовлетворяет уравнению Пуассона Dj=Y (x,y,z,t), где D – оператор Лапласа, Y – плотность стока. Тогда для потенциала точечного стока можно использовать уравнение (8.2.21), добавив в левую часть слагаемое:

(8.2.25)

где

q ₀ – интенсивность стока;

d (r) – функция Дирака [8];

q (t) – некоторая функция времени.

Для притока к точечному стоку с координатами r =0, z=h, расположенному в круговом осессиметричном однородно-анизотропном пласте конечного радиуса, уравнение (8.2.23) с учетом (8.2.25) записывается в виде

(8.2.26)

Решения приведенных уравнений широко освещены в задачах подземной гидрогазодинамики и теории разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений для плоского течения. Здесь мы покажем использование полученных уравнений для решения задач неустановившейся пространственной фильтрации жидкости на основе теории потенциала точечного стока-источника.

Для линии стоков, частично вскрывающей (несовершенная скважина по степени вскрытия) бесконечный по протяженности однородный пласт в интервале и конечный по толщине h (Рис.8.1а) получено следующее решение для понижения забойного давления в безразмерных параметрах [28]:

, (8.2.27)

Рис. 8.1а. Схема притока к несовершенной линии стоков