ПОСТРОЕНИЯ УГЛОВЫХ СУММ

 

Синтезирование плоских волн путем суммирования амплитуд в области выносов вдоль наклонных лучей обычно выполняется в два шага. Сначала к данным применяется поправка за линейное приращение (LMO) путем преобразования координат (Claerbout, 1978):

 

t = t – px,

(7.4)

 

где p - параметр луча, х - вынос, t - полное время пробега, t - линейно смещенное время. После применения поправки за линейное приращение отражение, наклонное на входе, становится горизонтальным. Далее, данные суммируются по оси выносов для получения:

 

S(p, t) = P (x, t + px)

(7.5)

 

Здесь S(p, t) представляет плоскую волну с параметром луча p = sinq/ v. Повторяя операцию ввода поправки за линейное приращение для различных величин p и суммирование [ур.(7.5)], можно построить полную выборку угловых сумм (или p -выборку), которая включает все составляющие наклона в первоначальных данных.

 

 

Рис.7.5 Принцип взаимности, примененный к геометрическому построению на рис.7.4 для замещения источников (S) сейсмоприемниками (R)

 

 

Рис.7.6 Если параметр луча p определен, можно построить луч в горизонтально-слоистой модели разреза с известной скоростной функцией

Рис.7.7 Некоторые лучи для данной величины p, соответствующей одной трассе в плоскости (p, t)     Рис.7.8 Лучи и времена пробега, ассоциированные с геометрией ОГТ и ОПВ

 

Угловая сумма и разложение волнового поля на плосковолновые составляющие не различаются между собой. Treitel и др. (1982) выполнил математический анализ процесса разложения на плосковолновые составляющие и сделал различие между общепринятой угловой суммой, рассмотренной здесь, и угловой суммой в собственном смысле. Общепринятая угловая сумма дает точное разложение на плосковолновые составляющие, когда мы имеем дело с линейными источниками; угловая сумма в собственном смысле дает точное разложение на плосковолновые составляющие, когда мы имеем дело с точечными источниками. Угловая сумма в собственном смысле формируется с использованием тех же шагов, которые рассмотрены для общепринятой угловой суммы; исключением является то, что свертка линейно смещенного волнового поля с оператором фильтра выполняется перед суммированием. Этот оператор вносит поправки за трехмерные эффекты, преобразуя волновое поле, полученное по точечному источнику, в волновое поле, полученное по линейному источнику. Пока дело касается кинематики, два типа углового суммирования являются эквивалентными. Они различаются только при обработке амплитуд (Treitel, персональное сообщение).

Схематическое описание распределения плоской волны с помощью ур.(7.4) и (7.5) показано на рис.7-9. Начнем с суммирования амплитуд в области удалений взрыв-прибор по горизонтальной траектории, p = 0. Эта линия пересекает годограф отраженной волны в окрестности точки А (вершины). Точка А попадает в точку А` на плоскости (p, t). При наклоне линии суммирования пересечение с годографом происходит в точке В, которая попадает в точку В`. Основной вклад в сумму вдоль наклонной траектории поступает в область точки касания В. Эта область называется зоной Френеля. Чем выше скорость и глубже отражения, тем шире зона Френеля. Фактически суммирование в ур.(7.5) может быть ограничено зоной Френеля. Траектория суммирования характеризуется небольшим наклоном: это

p = 1/ v, т.е. асимптота гиперболы. Такая траектория соответствует лучам, отклоняющимся от вертикали на 90 град. Энергия вдоль асимптоты попадает в С` на оси p. При использовании описанного выше распределения гиперболические траектории в области (x, t) становятся эллиптическими траекториями в области (p, t) (Schultz и Claerbout, 1978; см. упр.7.1). В реальных условиях мы никогда не регистрируем годограф бесконечной протяженности и трассу с нулевым выносом. Следовательно, эллиптическая траектория в области наклонного суммирования никогда не бывает полной от A` до С`.

На рис.7.10 показан более сложный случай. Докритические отражения А и D (т.е. отражения с углом падения меньше критического) попадают в область пониженных значений p, тогда как закритические отражения С попадают в область повышенных значений p. В идеальном случае линейное отражение в области удаления взрыв-прибор, такое как вступление преломленной волны В, становится точкой в области угловой суммы. И наоборот, линейное отражение в области угловой суммы становится точкой в области удаления взрыв-прибор (упр.7.2).

 

Рис.7.9 Гипербола на выборке ОГТ становится эллипсом на p-выборке

Рис.7-10 Различные вступления на выборке ОГТ распределяются в соответствующую p-выборку. Отражения A,B,C,D распределяются в A`,B`,C`,D`

 

На рис.7.11 показан пример полевых данных, содержащих, в основном, отражения от дна и многократные отражения в тонком слое. Кроме отражений от дна W имеются два хорошо различимых отражения Р₁ и Р₂. Кратные отражения распределяются вдоль эллиптических траекторий, сходящихся при p = (1/1500)с/м (величина, обратная скорости в воде). Пример полевых данных, содержащих линейные отражения, показан на рис.7.12. Обратите внимание на интенсивные амплитуды на выборке угловых сумм, которые соответствуют канальным волнам, наблюдаемых в данных выноса. В обоих примерах полевых данных выборки угловых сумм были созданы с использованием только положительных величин p. Следовательно, энергия, рассеянная в обратном направлении в данных выноса на рис.7.12, не представлена в выборке угловых сумм.

Перейдем к взаимосвязям между различными областями, которые используются в обработке сейсмических данных. Рассмотрим отражение от наклонной границы в ограниченной полосе пропускания в области выносов (t, x), как показано на рис.7.13. Величина выноса изменяется от 250 до 5000м при шаге между трассами 50м. Это отражение распределяется вдоль хорошо различимой радиальной линии в f-k -области (w, k_x). Наклон радиальной линии связан с горизонтальной фазовой скоростью соотношением:

 

w / kx = v /sinq

(7.6)

 

Подставим p = sinq/ v, чтобы найти взаимосвязь между переменными в области преобразования:

 

kx = pw

(7.7)

 

На рис.7.13 также показано распределение отражения от наклонной границы в области угловой суммы. Одномерное преобразование Фурье трасс угловой суммы в направлении времени дает амплитудный спектр (p, w), который также показан на рис.7.13. Эта плоскость описывает зависимость горизонтальной фазовой скорости от частоты и используется при анализе канальных волн (Раздел 7.3). Энергия вдоль радиального направления АА` на плоскости (w, k<sub>x</sub>) эквивалентна энергии вдоль вертикального направления ВВ` на плоскости (p, w).

 

Рис.7.11 (а) Выборка ОПВ, содержащая интенсивные кратные волны; (b) соответствующая p-выборка. Горизонтальная ось в b представляет собой горизонтальную фазовую скорость (1/ p). (Данные Shell и Esso).   Рис.7.13 Одно отражение от наклонной границы в различных областях.

Рис.7.12 (b) Выборка ОПВ; (а) ее угловая сумма. Горизонтальная ось в b представляет собой горизонтальную фазовую скорость (1/ p).     Рис.7.14 Пространственно неоднозначное отражение от наклонной границы в различных областях.

 

На рис.7.14 показана пространственно неоднозначная составляющая наклона. Циклический возврат (wraparound), наблюдаемый в плоскости (w, k_x), является результатом неадекватной пространственной дискретизации сигнала. Обратите внимание, что составляющие с пространственной неоднозначностью и без нее (участки соответственно 1 и 2) попадают на одну p -трассу. Мы ожидаем, что пространственно неоднозначная часть попадет на ряд отрицательных p -трасс. Однако, диапазон частот с побочной составляющей (21-42Гц) будет отсутствовать на плоскости (p, w), в которую были включены только положительные величины p. На рис.7.14 показан случай одного наклона; восстановление диапазона наклонов рассмотрено на рис.7.17.

После выполнения определенного процесса в области наклонных сумм используется обратное распределение для восстановления данных в области выносов. Thorson (1978) предоставил детали процедуры восстановления. Для надлежащего восстановления амплитуд перед обратным распределением применяется ро-фильтрация. Это выполняется путем умножения амплитудного спектра каждой трассы угловой суммы на абсолютную величину частоты. Данное действие, в некоторой степени, аналогично дифференцированию волнового поля перед суммированием, которое включено в интегральную формулировку миграции [ур.(4.5)].

На рис.7.15 показана блок-схема обработки наклонной суммы.

 

На рис.7.16 можно видеть синтетическую выборку удалений взрыв-прибор, соответствующую угловую сумму и восстановленную выборку удалений взрыв-прибор без какого-либо примененного процесса за исключением ро-фильтрации. Распределение x в p носит обратимый характер (Thorson, 1978). Причиной появления полосок (СР) на выборке угловых сумм является конечная длина косы. Введение переходной зоны на обеих сторонах выборки выносов помогает подавить эти эффекты конечной длины косы. В процессе восстановления выборки (x, t) мы не должны использовать тот же интервал между трассами, который был взят для первоначальной выборки (x, t). Рассмотрим синтетическую выборку на рис.7.17а.

Двумерный амплитудный спектр показывает, что частоты более 48Гц являются пространственно неоднозначными (рис.7.17b).Эта выборка может быть распределена в область угловых сумм (рис.7.17с) и восстановлена с применением меньшего интервала между трассами (рис.7.17d). Первоначальный интервал равен 25м; в восстановленной выборке он составляет 12.5м. Двумерный амплитудный спектр выборки с интерполяцией между трассами показывает отсутствие пространственно неоднозначных частот (рис.7.17е). Тем не менее, обратите внимание на пропущенную высокочастотную энергию при превышении 60Гц. Эта энергия в основном распределена вдоль годографа прямой волны во входной выборке (рис.7.17а) и отсутствует в выходной выборке (рис.7.17d). Мы видим, что восстановление может быть успешным даже для пространственно неоднозначных данных при условии изменения углов наклона в узких пределах.