Метод Гаусса.

Предназначен для решения СЛАУ вида: Ах=в (1)

Предположим, что матрица А - невырожденная, т.е. det А не равно 0. В этом случае решение системы существует и оно единственно, а рассматриваемая задача считается конкретной.

Вычисление с остоит из двух шагов: прямого и обратного хода. Прямой ход заключается в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. Рассмотрим простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления. Прямой ход состоит из (n-1) шагов.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₁ из уравнений с номерами i = 2,3,...,n. Предположим, что коэффициент a₁₁ ¹ 0 (главный элемент первого шага).

Вычислим величины m_i1=a_i1 /a₁₁ (i=2,3,...,n), называемые множителями 1-го шага. Вычтем из второго, третьего и... до n-го уравнений системы (1) первое уравнение, умноженное соответственно на m ₂₁,m₃₁,..., m_n1.Это позволит обратить в нуль коэффициенты при х₁ во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему.

в которой a_ij ⁽¹⁾=a_ij-m_i1 a_ij, b_i⁽¹⁾=b_i-m_i1 b₁.

После (n-1) - го шага исключения получим эквивалентную систему уравнений

(2)

Получается матрица А, которая является верхней треугольной. На обратный шаге из последнего уравнения системы (2) вычисляется х_n. Подставляя полученное значение в предпоследнее уравнение, вычислим значение х_n-1. Таким образом, можно вычислить значения всех неизвестных. Вычисления здесь проводятся по формулам: