Решение нелинейного уравнения методом простых итераций. Понятие сжимающего отображения. Теорема о сходимости. Геометрическая интерпретация.

Основные понятия вычислительной математики.

Применение ВТ базируется на описании процессов реального мира мат. модели, которая представляет собой совокупность обычных интегральных и дифференциальных уравнений. Всякая математическая модель представляет собой математическое преобразование вида «черный ящик», где x(x₁..x_n) вектор входных параметров объектов, y(y₁..y_m) вектор управлений воздействий на объект, U(U₁..U_k) совокупность выходных параметров объектов и F - оператор преобразования.

Для решения математических задач применяется 3 группы методов: аналитические, графические, численные.

Графические методы предполагают искать решение с помощью геометрических построений.

Аналитические методы предполагают искать решение задачи в виде формулы.

Численные методы являются основными методами в САПР. В их основе лежит процедура сведения решения задачи к конечному числу арифметических действий над числами, и получить результат в виде численных значений.

Основные требования и показатели численных методов является устойчивость, точность, сходимость, эффективность (скорость сходимости).

Алгоритм считается устойчивым, если он обеспечивает нахождение существующего и единственного решения при различных исходных данных.

Сходимость является основным критерием оценки алгоритма. Алгоритм сходится, если итерационная последовательность приближений x¹,x²,...,x^k® x^*, k ® ¥, т. е.

Скорость сходимости выражается в количестве шагов, которое метод затрачивает для поиска решения.

Алгоритм обладает линейной скоростью сходимости, если a<q<b, |x^k-1-x*|≤q|x^k-x*|.

Алгоритм обладает сверхлинейной скоростью сходимости, если выполняется условие |x^k+1-x^*|£q_k |x^k-x^*|, q ®0, k ® ¥;.

Алгоритм обладает квадратичной скоростью сходимости, если |x^k+1-x^*|£q|x^k-x^*|².

 

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций. Понятие сжимающего отображения. Теорема о сходимости. Геометрическая интерпретация.