Вычисление собственных чисел матрицы.

В процессе конструирования и анализа больших технич. систем инженеру очень часто приходится сталкиваться с задачей нахожд. собств. чисел и собственных векторов исследуемой системы, кот. характеризуют её внутренние св-ва. Математически задача нахождения собственного числа выглядит след. образом: Пусть задана квадратная матрица Аm,m. Обозначаем скалярное произведение 2-х векторов:

- норма.

Число l явл. собств. числом матрицы А, если найдётся ненулевой вектор Х, для кот. вып. равенство (1) Ах = lх. В этом случае вектор Х наз. собственным вектором матрицы А. Запишем (1) в др. виде: (А-lЕ)х=0 (2). Е – единичная матрица. Эта система будет им. ненулевое решение тогда, когда определитель матрицы det (A-lE)=0 (3). Раскрывая ур. (3), мы получаем характеристическое ур. вида: . Известно, что алгебраическое ур. степени m им. m корней в области комплексных чисел, т.е люб. матрица А порядка m им. ровно m собственных значений, комплексно сопряжённые. Во многих дисциплинах сущ. задачи, связывающие с выч. всех собств. чисел. В этом случае задача наз. полной проблемой собственных значений. Однако, гораздо чаще в задачах треб. определить одно собственное значение или некоторую их часть. Такие задачи наз. частичной проблемой собственных значений. В плане постановки такой задачи существующий интерес представляет нахождение собственного числа, наиболее близкого расположенного к заданному, или нахождение наибольшего или наименьшего собственного числа. Характеристическое ур. можно решать любым численным методом с последующим понимание порядка ур. после нахождения одного из корней. Пример:

l₁=1; делим на l-1: -l²+8l-13=0 → l₂=4±

Описанный приём для реш. характерного ур. относят к прямым методам реш. проблем собственных значений. Их применению может воспрепятствовать высокий порядок m, когда корни характеристического ур. становятся чувствительны к погрешности и м.б потеряна достоверная инф. об m величене. Рассмотрим один из самых простых методов реш. задачи о собственных числах – степенной метод без сдвигов. Пусть требуется определить max по модулю собственное значение l₁ матрицы А. l₁ д.б вещественным. Возмём произвольный вектор х⁰ и построим из него последовательность векторов и Итерационный процесс:

Теорема: Пусть задана матрица А достаточно простой структуры, для кот. |l₁|>|l₂|≥|l₃|≥…≥|l_m|. Предположим что разложение х⁽⁰⁾ по базису собственных векторов х⁰=С₁е₁+ С₂е₂+…+ С_mе_m происходит с С₁≠0. Тогда |l^k₁| → |l₁|^k→∞и справедлива следующая оценка погрешности: Исходя из формулы (4), можно записать, что х^(к)=А^к х⁽⁰⁾. Допускается следующее усовершенствование метода: y^(к)=Ах^(k-1), l^(к)=(y^(к), y^(к-1)), Для того. чтобы схема была работоспособной, нужно, чтобы ||x⁽⁰⁾||=1. Подобный подход позволяет избежать возникших в результате вычислений проблем с переполнением или потерей порядка. Одним из недостатков степенного метода без сдвигов явл. его медленная сходимость применительно ко многим прикладным задачам.