Освоить порядок расчета переходных процессов классическим методом

Познакомиться с методикой расчета переходных процессов на примере разветвленной цепи (рис. 15), в которой известно: U, R₁ , R₂ , L, С. Найти переходные токи i₁, i₂, i₃.

3.1. Рассчитать схему до коммутации. Цель: определить независимые начальные условия (ток в индуктивности, напряжение на емкости)

i₃(0_-)=0; u_C(0_-)=U.

 

3.2. Рассчитать схему после коммутации (установившийся режим). Цель: определить принужденные составляющие токов и напряжений.

3.3. Составить уравнения Кирхгофа для заданной схемы после коммутации:

(3)

(4)

(5)

3.4. Дальнейшее решение выполнить в целях получения характеристического уравнения и его корней, которые определяют вид функции для свободной составляющей. Возможны несколько различных путей нахождения характеристического уравнения.

Первый путь (классический). Решение системы уравнений (3...5) производится обычным путем, т. е. исключая переменные величины и получая дифференциальное уравнение относительно одной переходной величины. Из формулы (4) выразить

(6)

Уравнение (5) дифференцируйте следующим образом:

Из полученного уравнения

(7)

Подставьте выражения (6) и (7) в уравнение (3):

(8)

 

Итак, получено дифференциальное уравнение второго порядка, относительно одной переменной.

Характеристическое уравнение:

(9)

Второй путь. Система уравнений (3...5) для свободных составляющих:

 

Оно записывается в символической алгебраической форме, при которой символ р заменяет операцию дифференцирования р= , а символ операцию интегрирования

(10)

Дифференциальные уравнения превратились в алгебраические относительно этих же функций. Такое преобразование называется алгебраизацией системы дифференциальных уравнений.

Составим определитель системы (10) и, приравняв его к нулю, убедимся, что получим характеристическое уравнение (9):

 

 

Третий путь. Характеристическое уравнение часто получают более простым способом. С этой целью составляют выражение комплекса входного сопротивления относительно любой ветви.

(11)

 

Заменив в этом уравнений , приравнивают Z(р) к

нулю.

Приравняв числитель к нулю, получают характеристическое уравнение:

3.5. Найдя корни характеристического уравнения, можно написать выражение для свободных токов и напряжений. Для уравнения второго порядка, соответствующего заданной схеме, возможны следующие решения:

а) корни р₁ и р₂ вещественные и неравные:

(12)

б) корни р₁ и р₂ вещественные и равные, т. е. р₁ = р₂ = p

(13)

в) корни р₁ и р₂ комплексные и сопряженные:

р_1,2 == — a ± jw,

(14)

Поскольку дальнейший расчет не зависит от вида корней характеристического уравнения, рассмотрим порядок расчета для первого случая (корни р₁ и р₂ —вещественные и различные).

3.6. Записать решение для напряжения на конденса­торе как сумму принужденной и свободной составляющих:

(15)

Такой путь целесообразен потому, что с помощью начальных условий он позволяет определить постоянные интегрирования, а затем — искомые токи.

Для получения дополнительного уравнения выражение (15) продифференцировать:

 

(16)

Уравнения (15...16) записать при t=0₊:

u_C (0₊) =u_Cпр+А₁+А₂

 

(17)

Для нахождения обратиться к системе уравнений Кирхгофа (З...5), записанной при t=0:

При этом необходимо учесть, что

Далее подставить найденные ранее независимые начальные условия i₃(0₊) и u_C(0₊) и числовые данные; в результате должна получиться система 3-х уравнений с тремя неизвестными i₁(0₊), i₂(0₊), и u_L(0₊).

Решая эту систему, найти i₂(0), а затем

Определить постоянные интегрирования A₁ и А₂, решая систему уравнений (17).

3.7. Зная закон изменения напряжения на емкости,

нетрудно определить другие величины, используя уравнения Кирхгофа (3...5):

 

Таким образом, рекомендуем следующий порядок расчета переходного процесса классическим методом:

1) определить независимые начальные условия; для этого рассчитать ток в индуктивности и напряжение на емкости до коммутации;

2) определить принужденные составляющие токов и напряжений после коммутации (установившийся режим);

3) с помощью законов Кирхгофа составить систему уравнений для мгновенных значений напряжений и токов после коммутации, задавшись предварительно направлением токов в ветвях;

4) составить характеристическое уравнение любым из описанных способов; найти его корни;

5) записать общее решение искомой величины как сумму принужденной и свободной составляющих; следует помнить, что выражение свободной составляющей зависит от вида корней характеристического уравнения;

6) определить постоянные интегрирования, пользуясь начальными условиями.

 

Пример 4. Определить ток i₂ в схеме рис. 16, если Е=120В, L=1 мГн, С=10 мкф, R₁=3 Ом, R₄=3 Ом, R₂=1 Ом, R₃=4 Ом.

Решение.

 

Расчет схемы до коммутации, определение независимых начальных условий:

1.

2. Определение принужденных составляющих, расчет схемы после коммутации (установившийся режим):

3. Система уравнений Кирхгофа для схемы после коммутации:

(18)

(19)

(20)

4. Уравнение (20) дифференцируем:

 

Учитывая, что i₂=i₁—i₃, запишем полученное выражение как

(21)