Освоить методику применения законов Ома и Кирх­гофа в операторной форме.

Рассмотреть процесс включения последовательной цепи R, L, С на источник напряжения (рис. 17); при этом предположить, что конденсатор был предварительно заряжен и имел напряжение Uc(0).

Для данной цепи по II закону Кирхгофа справедливо следующее уравнение:

(30)

Чтобы перейти к операторной форме, надо обе части уравнения (30) умножить на е-^Рt и проинтегрировать от нуля до бесконечности. Интеграл справа разбить на сум­му интегралов с учетом того, что

Уравнение (30) в операторной форме:

(31)

Откуда

(32)

Выражение (32) является законом Ома в операторной форме. . Знаменатель выражения (32)

называют операторным сопротивлением. Числитель этого выражения, помимо э. д. с., включенной в ветви,

содержит еще два слагаемых: Li(0) и

Запомнить, что эти слагаемые называют внутренними э. д. с. Они

учитывают то, что в момент коммутации (при t=0) магнитное поле катушки и электрическое поле конденсатора обладали определенным запасом энергии.

Таким образом, внутренние э. д. с. учитывают началь­ные условия. При нулевых начальных условиях закон Ома принимает вид

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, связанных в один узел, равна нулю:

(33)

Пусть изображение каждого из токов по Лапласу имеет следующий вид:

(34)

С учетом выражения (34), уравнение (33) в операторной форме принимает вид:

(35)

т. е. алгебраическая сумма изображений токов в ветвях, сходящихся в один узел, равна нулю. Уравнение (35) выражает первый закон Кирхгофа, записанный в операторной форме.

По второму закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме э. д. с.

Рассмотреть контур электрической цепи, содержащей n ветвей, каждая из которых содержит R, L, С и е. Составим для выбранного контура по второму закону Кирхгофа уравнение для мгновенных значений:

(36)

Полагая получить второй закон Кирхгофа в операторной форме:

(37)

где операторное сопротивление ветви.

При нулевых начальных условиях второй закон Кирхгофа принимает следующий вид:

 

(38)

 

Следовательно, структура уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа в операторной форме, такая же, как и в символической форме для комплексов действующих значений, только необходимо в операторной форме учитывать внутренние э. д. с.