ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники.—М., 1978, том 1, § 8.31—&3&, 8.41—8,49

2. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей.—М., 1975, § 14.1—14.3.

3 Теоретические основы электротехники. /Под ред. Ионкина П. А.—М., 1976, том 1, § 16.1—16.3.

1. Изучить основные понятия операторного метода расчета:

заданную функцию действительного переменного f(t) преобразуют специальным математическим приемом, в функцию комплексного переменного F(p). При этом f(t) называют оригиналом, F(р)- изображением. Вместо исходных дифференциальных уравнений получаются операторные уравнения для изображений;

полученные операторные уравнения решаются относительно комплексного переменного F(р) для искомой функции;

специальным математическим приемом осуществляется переход от функции комплексного переменного F(р) к ее оригиналу, т. е. к искомой функций времени f(t).

Таким образом, сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменяются решением простых - алгебраических уравнений, записанных в операторной форме.

Для преобразования функции вещественного переменного f(t) в функцию комплексного переменного F(р) пользуются преобразованием Лапласа.

. (28)

Следует отметить, что между изображением и оригиналом нет равенства, а есть только соответствие. Это важное положение подчеркивается условной записью, связывающей изображение с оригиналом.

Имеются более 1500 оригиналов и соответствующих им изображений. Самые распространенные из них приведены в табл. 2.

Заключительным этапом расчета переходных процессов операторным методом является нахождение оригинала функции по известному изображению. Это можно сделать по таблицам, приведенным в учебниках по ТОЭ, и в справочниках.

При выполнении домашнего задания следует воспользоваться аналитическим методом перехода от изображения к оригиналу, а именно с помощью формулы разло­жения:

(29)

 

Таблица 2
Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
А
		t

При выполнении домашнего задания следует воспользоваться аналитическим методом перехода от изображения к оригиналу, а именно с помощью формулы разло­жения:

(29)

Рассмотрите ряд примеров применения формулы разложения.

Пример 5. Дано изображение

Найти оригинал f(t).

Обозначим F₁(р)=120; F₂(р)=р²+160 р+6000.

Найдем корни многочлена знаменателя F₂(р)=0;

р² +160 р+6000=0;

 

Применим формулу разложения

F₁(p₁)=F₁(p₂)=F₁(p)=120.

Производная знаменателя F₂^/ (р) == 2р +160.

Подставляем в нее поочередно корни:

F₂^/(p₁)=2(-40)+160=40

F₂^/(p₂)=2(-100)+160= - 40

По формуле разложения найдем оригинал:

 

Пример 6. Найти оригинал по заданному изображению:

Определяем корни знаменателя F₂(р) = 0:

р(р²+40р+500)=0;

р₁=о;

Вычисляем числитель, подставляя в него корни р₁ р₂, р₃:

 

F₁(р)=10р+200; F₁(р₁)=200;

F₁(р₂)=10(-20+j10)+200=j100;

Р1(Рз)= -j100, так как корни комплексные и сопряженные

Вычисляем знаменатель: Применяем формулу разложения:

 

Таким образом, подстановка в формулу разложения комплексных сопряженных корней приводит к получению

в качестве оригинала затухающей синусоидальной функции.

Итак, вычисление оригинала по формуле разложения следует вести в следующем порядке:

1) приравнивая F₂(р) нулю, определяют корни p₁, p₂, p₃и т. д.;

2) вычисляют производную знаменателя дроби F (р) и подставляют в нее поочередно корни p₁, p₂, p₃...;

3) вычисляют числитель F₁(р), подставляя в него корни p₁, p₂, p₃...;

4) рассчитывают оригинал f(t), производя вычисления отдель­ных слагаемых и суммируя их.

Изучив математические основы операторного метода интегрирования дифференциальных уравнений, рассмотреть его особенности для расчета переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами.