Задачи и решения.

2.4.1. Критерий устойчивости Гурвица.

Для систем первого и второго порядков необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность (или отрицательность) всех коэффициентов характеристического уравнения.

Задача А1. Дана система автоматического регулирования, структурная схема которой имеет следующий вид:

 

 

Можно ли подобрать такое значение коэффициента К, чтобы замкнутая система была устойчива?

Решение: определяем передаточную функцию замкнутой системы

ее характеристическое уравнение

Поскольку коэффициент при р равен нулю, невозможно выполнить достаточное условие устойчивости системы третьего порядка. Поэтому система будет неустойчивой при любых значениях К.

 

Задача N2. Дана система

 

Определить предельное значение коэффициента К, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости, если переходная характеристика h(t) звена с передаточной функцией W₁(p) описывается выражением

Решение: Отыскиваем изображение переходной характеристики и определяем передаточную функцию звена W₁(p).

;

Определяем передаточную функцию замкнутой системы и ее характеристическое уравнение:

Условие нахождения системы на границе устойчивости определяем с помощью критерия Гурвица:

; К_пр=0,11.

Задача N3.

Дана система

Оценить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы.

Решение: Для системы четвертого порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является:

.

Находим передаточную функцию замкнутой системы и ее характеристическое уравнение

Подставив заданные значения коэффициентов и параметров системы в необходимое условие устойчивости, получим:

. Таким образом, система устойчива.

 

Задача N4. Дана система, структурная схема которой имеет следующий вид:

 

При каких значениях коэффициента обратной связи К₁ система в замкнутом состоянии устойчива.

Решение: Определим передаточную функцию замкнутой системы

Ее характеристическое уравнение:

, необходимое и достаточное условие устойчивости системы второго порядка состоит в положительности всех коэффициентов характеристического уравнения:

Отсюда следует, что , то есть система устойчива при любом положительном К₁.

 

Задача N 5. Дана структурная схема системы:

Определить, при каких значениях коэффициента К замкнутая система устойчива, если импульсная переходная характеристика звена с передаточной функцией описывается выражением .

Решение: находим изображение импульсной переходной характеристики, которое совпадает с передаточной функцией звена

.

Определяем передаточную функцию замкнутой системы:

Ее характеристическое уравнение

, для устойчивости системы необходимо и достаточно чтобы . Подставив в последнее выражение заданные значения параметров определяем значения К, при которых система устойчива. .

 

Задача N6. Дана система:

 

При каких значениях постоянной времени система устойчива, если

Решение: Находим характеристическое уравнение замкнутой системы

Условие устойчивости системы третьего порядка:

Разделим обе части неравенства на , при этом получим

Раскроем скобки и перенесем единицу влево:

или

Умножим обе части на , перенеся влево:

Подставим в полученное выражение заданные значения параметров:

или . Функция представляет собой уравнение параболы. Функция при и

 

Задача N7. Дана система

 

 

Оценить устойчивость системы, если

Решение: С помощью правил структурных преобразований преобразуем исходную схему в типовую одноконтурную с обратной связью, для этого перенесем узел со входа звена с передаточной функцией равной на его выход. При этом структурная схема примет следующий вид:

 

 

Определим передаточные функции внутренних контуров с обратной связью

 

 

Определим передаточную функцию замкнутой системы и ее характеристическое уравнение

С учетом заданных параметров системы характеристическое уравнение примет следующий вид:

Согласно критерию Гурвица, поскольку рассматриваемая система устойчива.

 

Критерий устойчивости Рауса.

 

Задача N8. Дано характеристическое уравнение замкнутой системы:

Все коэффициенты . Составим матрицу Рауса, первый столбец которой содержит 7 коэффициентов:

Определим знак коэффициентов первого столбца матрицы:

 

Поскольку коэффициенты положительны, рассматриваемая система шестого порядка устойчива.

 

Критерий устойчивости Михайлова.

 

Задача N9. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

, где К – общий коэффициент передачи разомкнутой системы. - постоянные времени.

С помощью критерия Михайлова определить предельное значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы К, при котором система окажется на границе устойчивости.

Решение: Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:

. После подстановки численных значений постоянных времени и получим:

При нахождении системы на границе устойчивости кривая Михайлова проходит через начало координат при некотором значении частоты . Поэтому при

Из последнего выражения находим значение квадрата частоты, при которой кривая Михайлова проходит через начало координат

. Подставив полученное значение частоты в уравнение после преобразований получим

Задача N 10. Дано характеристическое уравнение замкнутой системы:

,

Оценить устойчивость системы с помощью критерия Михайлова.

Решение: Подставив в исходное выражение , выделив действительную и мнимую части, получим:

, где ;

Подставив исходные данные, получим следующие уравнения:

Находим корни уравнений и

Поскольку корни уравнений перемежаются, кривая Михайлова последовательно проходит пять квадрантов, нигде не превращаясь в нуль. Следовательно, система устойчива.

Построение областей устойчивости.

 

Задача N 11. Дана система.

 

Построить область устойчивости на плоскости параметров системы

Решение:

Характеристический полином имеет вид:

, после преобразований получим:

Поскольку для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны, . Отсюда следует, что . Необходимое и достаточное условие устойчивости системы определяется следующим равенством:

.

Из последнего равенства имеем:

или

С учетом заданных значений параметров системы

Область устойчивости в плоскости параметров и имеет следующий вид: