Математические модели цифровых систем управления.

3.2.1. Основные положения.

Математические модели цифровых систем управления классифицируются в зависимости от вида аргумента. Различают следующие виды математических моделей:

1) временные – аргумент дискретное время

- разностные уравнения;

- переходная характеристика;

- функция веса.

2) операторные – аргумент либо оператор z, либо оператор w

- передаточные функции.

3) частотные – аргумент частота , либо псевдочастота

- частотные характеристики.

3.2.2. Разностные уравнения связи n-порядка между входом и выходом.

Если в непрерывных системах управления основной временной математической моделью является дифференциальное уравнение, основными элементами которого являются производные различных порядков, то в цифровых системах управления основной временной математической моделью является разностное уравнение n-го порядка, элементами которого являются разности различных порядков.

Вид разностного уравнения зависит от способа представления разностей. Различают два способа представления разностей, как эквивалентов производных непрерывной функции:

- прямые (правые) разности;

- обратные (левые) разности.

В прямых разностях используется строгое понятие производной непрерывной функции, поэтому прямая разность, например первого порядка, в момент определяется по будущему значению решетчатой функции в момент времени . Решетчатая функция - это функция, значения которой определены только в дискретные моменты времени.

Обратная разность, например, первого порядка, определяется по предшествующему значению решетчатой функции в момент времени .

Разность более высокого порядка может быть представлена не только через разности более низкого порядка, но и через значения функции в различные моменты времени.

Таким образом, разностные уравнения n-го порядка в общем случае при одном входном воздействии имеют следующий вид:

- для прямых разностей

- для обратных разностей

В приведенных уравнениях для сокращения записи опущено , то есть по существу принято с. Наибольший порядок разности соответствует наибольшему сдвигу вправо или влево относительно рассматриваемого момента времени .

3.2.3 Система разностных уравнений первого порядка (система уравнений

параметров состояния).

Исходным для получения системы разностных уравнений первого порядка, т.е. уравнений параметров состояния цифровой системы управления, может служить разностное уравнение n-го порядка.

Как следует из п.3.2.2 для прямых разностей разностное уравнение n-го порядка имеет вид:

Система разностных уравнений первого порядка получается путем введения следующих переменных, параметров состояния, и имеет следующий вид

В частном случае при

Систему уравнений для параметров состояния обычно представляют в векторно-матричной форме:

В общем виде в удобной форме записи система уравнений параметров состояния имеет вид:

Матрицы , и имеют определенный смысл, а именно, матрица представляет функции веса, матрица представляет переходные характеристики. Матрица представляет матрицу возмущений.

Для обратных разностей разностное уравнение имеет вид:n-го порядка

В этом случае система разностных уравнений первого порядка получается путем введения следующих переменных, параметров состояния, и имеет следующий вид:

В частном случае при

Систему уравнений для параметров состояния в этом случае также представляют в векторно-матричной форме:

Так же, как и для прямых разностей, для обратных разностей в удобной форме система уравнений параметров состояния имеет вид:

 

3.2.4.Основные понятия о передаточных функциях цифровых систем управления.

Общие положения.

Передаточные функции являются функциями определенного оператора. В непрерывных системах управления таким оператором является оператор Р. Для анализа и синтеза цифровых систем управления могут применяться две разновидности передаточных функций:

- передаточная функция , аргументом которой является оператор z. Эта передаточная функция непосредственно представляет цифровую систему управления;

- передаточная функция , аргументом которой является оператор . Эта передаточная функция представляет непрерывный эквивалент цифровой системы управления.

Связь между операторами передаточных функций устанавливается следующими соотношениями:

Передаточная функция .

Передаточная функция представляет отношение изображения выходной величины к изображению входной величины. Для получения передаточной функции могут быть использованы два варианта, в зависимости от того, что является исходным для решения этой задачи:

1) исходным является разностное уравнение связи между входом и выходом;

2) исходной является передаточная функция в непрерывной форме.

В первом случае необходимо найти преобразование левой и правой частей разностного уравнения и найти отношение их изображений. Например, при использовании прямых разностей передаточная функция в общем случае имеет вид:

Во втором случае для получения передаточной функции по непрерывной передаточной функции необходимо передаточную функцию разложить на простые слагаемые, предварительно определив корни ее знаменателя, и затем воспользоваться соответствием изображений по Лапласу и изображений, приведенным в таблице.

Таблица изображений по Лапласу и изображений.

N п/п	Оригинал Непрерывный	Оригинал дискретный	Изображение По Лапласу	изображе- ние
			Y(p)	Y(z)
	-		-

 

Большинство передаточных функций непрерывной части системы управления содержит запаздывающее звено, а именно

 

,

где - не содержит элементов запаздывания;

- время запаздывания.

В этом случае для получения цифрового эквивалента непрерывной части удобно воспользоваться соотношением операторов и , предварительно выразив запаздывание через период дискретности

где - целое число.

Тогда в соответствии с соотношением для операторов получаем:

После этого необходимо воспользоваться приведенным выше правилом для преобразования к цифровой форме:

.

 

 

3.2.5. Передаточные функции устройств связи с объектом управления.

В ряде случаев невозможно непосредственно отнести устройство связи с объектом управления ни к цифровой, ни к непрерывной части системы. Примером таких устройств является фиксирующее звено нулевого порядка, передаточная функция которого содержит оператор и оператор

В этом случае составляющая переносится в дискретную часть системы, а составляющая в непрерывную часть системы. Таким образом, дискретная форма объекта управления с учетом составляющей устройства связи с объектом управления определяется по соотношению:

Передаточная функция .

Для получения передаточной функции , представляющей непрерывный эквивалент цифровой системы управления, по передаточной функции необходимо осуществить в передаточной функции замену переменной использовав соотношение . После преобразования передаточной функции можно применить для анализа и синтеза цифровой системы управления методы непрерывных систем управления, используя при этом непрерывный эквивалент цифровой системы управления .

 

3. 2.6. Передаточные функции цифровых систем управления.

Обобщенная структурная схема системы.

Используя структурные преобразования можно цифровую систему управления любой сложности привести к некоторой обобщенной структурной схеме:

 

В частном случае может представлять цифровой

 

 

В частном случае может представлять цифровой вычислительный комплекс (регулятор), а преобразованные в цифровую форму непрерывные элементы системы (объект управления) и устройства связи с объектом управления.

Передаточные функции цифровых систем управления.

1) передаточная функция разомкнутой системы

2) передаточные функции замкнутой системы

Вид передаточной функции замкнутой системы зависит от того, что принимается за “выход” и “вход” системы.

 

3.2.7. Частотные характеристики.

Частотные характеристики получаются при помощи перехода от операторного описания цифровой системы управления к частотному путем соответствующей замены в передаточной функции оператора. При этом операторы заменяются следующим образом:

где -частота,

- псевдочастота.

При переходе в частотную область путем непосредственной замены в передаточной функции оператора z, частотные характеристики цифровых систем управления имеют периодический характер с периодом . Иногда удобно пользоваться при анализе и синтезе цифровых систем управления частотными характеристиками монотонного типа, использовав при этом передаточную функцию , заменив в ней оператор на . При этом частотные характеристики являются функциями не истинной частоты , а псевдочастоты . Частотные характеристики в этом случае определяются по правилам определения частотных характеристик непрерывных систем управления. Например, для разомкнутой цифровой системы управления:

; ;

 

3.2.8. Задачи.

А. Задано: разностное уравнение разомкнутой системы управления

А1. ; A2.

A3. ; А4.

А5. А6.

А7. А8.

А9. А10.

А11. А12.

А13. А14.

А15. А16.

А17. А18.

А19. А20.

Определить:

- передаточную функцию разомкнутой системы и передаточные функции замкнутой системы

- разностное уравнение замкнутой системы;

- уравнение параметров состояния замкнутой системы;

- непрерывный эквивалент разомкнутой цифровой системы управления ;

- частотные характеристики разомкнутой системы в функции псевдочастоты .

 

Б. Задано: передаточная функция непрерывной части системы управления.

Б1. ; Б2.

Б3. ; Б4.

Определить: передаточную функцию для случаев .

В. Задано: Передаточная функция непрерывной части системы управления. Устройство связи с объектом управления – фиксирующее звено нулевого порядка.

В1. ; В2. ; В3. ; В4. ;

В5. В6. В7. ;

В8.

Определить эквивалентную передаточную функцию в цифровой форме