Визначення показника заломлення із порядкових чисел m

Будемо вважати, що m - не являється дискретно - порядковим числом, а неперервною математичною змінною. Спектр для нормального падіння можна змістити до більш коротких довжин хвиль, якщо збільшити кожне порядкове число на величину ∆т, де ∆m може відрізнятися для кожного т. Зміщення, яке пояснюється косим падінням випромінювання згідно рівняння (2.4), можна виразити через нормальне падіння:

 

(2.5)

 

Із рівняння (2.4) і (2.5) і закона Снелліуса випливає, що:

 

(2.6)

(2.7)

При розгляді двох сусідніх екстремальних значень спектра нормального падіння при довжинах хвиль λ₀₁ λ₀₂ із рівняння (2.3) слідує, що:

 

Величина М визначається як:

 

(2.8)

 

де М > m₁.

 

Рівність М =m₁ правильна тільки при відсутності дисперсії. Вплив дисперсії на М можна приблизно визначити математичною функцією типу:

. (2.9)

Перший доданок у рівнянні (2.9) відображає відношення 1/λ між т і λ згідно рівняння (2.3), в той час як доданок в дужках приблизно виражає вплив дисперсії. Значення т при кожному екстремальному значенні можна приблизно представити як:

 

(2.10)

 

Рівняння (2.9) можна записати у вигляді прямої лінії:

 

(2.11)

 

Значення y можна визначити повторенням у і здійсненням лінійної регресії рівняння (2.11). Значення у вибирають таке, щоб воно добре підходило до рівняння (2.11) і давало значення т по наближенню до (2.10), яке відрізняється на 1/2 і також дають правильні, приблизно цілі, значення для кожної екстремальної величини. Із наближених значень т, враховуючи (2.10), точні порядкові числа можна задавати кожній екстремальній величині.

Якщо взяти, що п - постійна в області між кожним λ _i і дві її сусідні екстремальні величини з нормальним падінням λ₀₁ і λ₀₂, то ∆m можна приблизно визначити по формулі[12]:

 

(2.12)

 

Апроксимація (2.12) дає значення , які на декілька відсотків більші, тому краще скористатися формулою (2.14) [12]. Підставивши рівняння (2.2) у рівняння (2.3) дає

 

(2.13)

де A=4ad², B=4bd².

 

Оскільки порядкові числа відомі, значення х можна визначити за допомогою лінійної регресії рівняння (2.13). Значення х вибирається таке щоб найкраще підходило екстремальним значенням, а регресія також дає значення А і В. Підстановка рівняння (2.2) у рівняння (2.5), використовуючи рівняння (2.13) для ∆m дає наступний вираз[12]:

 

(2.14)

 

Значення n_i при кожному значенні λ_i, можна тепер визначити використовуючи рівняння (2.6), (2.7) і (2.14). Значення d можна визначити, якщо врахувати той факт, що т збільшується на 1/2 для кожної наступної екстремальної величини, яка описана у рівнянні (2.5). Якщо m _i - порядкове число першої екстремальної величини, то рівняння (2.5) для наступних екстремальних величин можна записати як [11]:

 

(2.15)

 

де l=0,1,2,3,…

 

Рівняння (2.15) можна графічно зобразити, як це показано на рис.2.2. Пряма лінія через m_i, і інші точки має нахил 2d, а значення d можна дістати із цього нахилу. Якщо d відоме, а і b можна визначити із рівняння (2.13), яке завершує обрахунок п'яти сталих.

-6

-4

-2

 

Рис.2.2.Графік залежності п_і/λ_i, від l/2 +∆m (°) і n₀ /λ₀ від l /2 (•) для

визначення товщини плівки d [11].