По скоростям и энергиям теплового движения

Молекулы газа движутся хаотично. Величины и направления скоростей молекул изменяются в результате весьма частых (до 10⁹ с^-1) соударений с другими молекулами. Так как все направления движения равновероятны, то распределение молекул по направлениям будет равномерным, т.е. в каждом из выбранных направлений будет двигаться равное число молекул.

Вместе с тем возможные численные значения скорости отнюдь неравновероятны, неодинаковы.

Вследствие соударений с другими молекулами молекула может приобрести энергию существенно большую, чем ее средняя энергия < ε>. Однако, если одна молекула отберет энергию даже у всех остальных молекул, то и тогда ее энергия будет конечной, т.е. скорость молекулы газа вообще не может иметь значения выше некоторого значения v_max, а тем более v = ∞.

Вероятности того, что скорости слишком большие и слишком малые по сравнению со средней, практически невелики и значения скоростей группируются около некоторого наиболее вероятного значения. Воспользуемся способом моментальной “фотографии“. Возьмем горизонтальную ось скоростей.

Крестиками на оси скоростей отметим значения скоростей молекул, зафиксированные в какой-то момент времени. Качественная картина распределения молекул вдоль оси скоростей будет такой, как на рис.52.

Плотность точек ρ (как она обозначена формулой 9.1) вдоль оси будет неравномерной и, очевидно, будет зависеть от величины скорости v, так как зависит от выбора места интервала скоростей Δv

v + Δv

v

Δv

ΔNv

v

Рис. 52

 

, (9.1)

где Δv - интервал скоростей от v до (v + Δv); ΔN_v - число молекул, обладающих скоростями в интервале значений от v до (v + Δv).

Если взять несколько порций газа при одинаковых давлении P и температуре Т в идентичных условиях, то плотность точек на оси v будет пропорциональна числу молекул N в каждой порции газа, а одинаковым для всех порций газа будет отношение

Функция f(v) называется функцией распределения молекул по скоростям. Величина дает вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного интервала скоростей Δv.

Сумма этой величины по всему диапазону скоростей от 0 до ∞ будет равна 1: Поскольку скорость молекулы обязательно имеет какую - то величину (от 0 до ∞), вероятность этого есть вероятность достоверного события, которая, следовательно, равна 1, т.е.

Вид функции распределения молекул по скоростям получен Максвеллом и она носит его имя

где m - масса молекулы, k - постоянная Больцмана, T -температура, А - множитель, который не зависит от скорости.

Величины стоящие в показателе степени, характеризуют среднее значение энергии молекулы. Экспонента убывает быстрее, чем возрастает v², поэтому функция f (v) (рис. 53), достигнув максимума, будет ассимптотически стремиться к нулю.

f (v)

v2

vвер

v

Рис. 53

 

 

Коэффициент А находят из условия нормировки.

,

Этот интеграл будет равен 1, когда коэффициент А будет равен

и тогда окончательный вид функции распределения будет

График функции дан на рис. 53. Эта функция зависит от рода газа (m) и параметра состояния (Т). Давление и объем на функцию распределения f (v) не влияют. Скорость, отвечающая максимуму распределения, называется вероятной v_вер и является наиболее вероятной. Выражение для v_вер можно получить продифференцировав и приравняв эту производную нулю.

.

При v=0 и v=∞ функция имеет минимумы, а из условия

отвечающее условию максимума функции при v=v_вер.

.

С ростом температуры максимум распределения смещается в сторону больших скоростей (рис. 54).

T1,m1

f (v)

T2>T1 m2<m1

T2,m2

v

Рис. 54

 

 

Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости <v_ар> (среднее арифметическое), а также

среднее значение квадрата скорости <v²_кв>.

Оценка средней скорости молекул кислорода (М=32 кг/кмоль) при нормальных условиях даст величину порядка 500м/с, а для водорода порядка 2 км/с.

Относительные количества молекул ΔN/N для различных интервалов скоростей приведены в таблице

v/vвер	0 - 0,5	0,5 - 1,5	1,5 – 2	2 - 3	> 3	>5
ΔN/N, %		70,7	16,6	4,6	0,04	8 ∙10-9

 

Как видно из таблицы, более чем у 70% всех молекул скорость отличается от наиболее вероятной не больше, чем на 50%. Скоростью, более чем в