Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газе

 

Молекулы газа движутся хаотично и при средней скорости в сотни м/с испытывают множество соударений в секунду. В модели идеального газа принято, что молекулы взаимодействуют между собой по механизму шаров при упругом ударе.

 

 

Минимальное расстояние на которое сближаются центры двух молекул называется эффективным диаметром d молекулы,

d

d

Рис. 45

а величина σ = πd² называется эффективным сечением молекулы (рис.45).

 

Траектория движения отдельно взятой молекулы представляет собой ломаную линию с отрезками разной длины (рис. 46).

1

l 1

l 2

l 3

l 4

l 5

l 6

Рис. 46

l 7

 

Расстояние, проходимое между двумя последовательными соударениями молекулы, изменяется после каждого соударения. Поэтому вводят понятие средней длины свободного пробега < λ >

Если средняя скорость молекулы <v>, то за время t = 1с она пролетит расстояние s=<v>t=<v>1=<v> и на этом пути претерпит какое-то среднее число соударений <z> с другими молекулами и стенками сосуда. Определим <z>.

Предположим, что все молекулы кроме одной застыли на месте, т.е. неподвижны. На своем направлении полета v эта подвижная молекула 1 столкнется с теми “застывшими” молекулами, центры которых отстоят от направления ее полета на расстоянии d по обе стороны этого направления, т.е. со всеми теми молекулами, которые находятся в цилиндре с радиусом основания d и высотой s=<v> (рис. 47).

Число таких молекул, с которыми она столкнется за одну секунду будет равно n∙π∙d²∙s=n∙π∙d²∙<v>,

V

где n– концентрация молекул (м^-3), π∙d²=σ– эффективное сечение молекулы, s=<v>t- путь, проходимый за 1 с.

d

d

Рис. 47

 

В реальных условиях, когда все молекулы движутся, число столкновений будет в раз больше, тогда

<z> = n σ∙<v>

- среднее число столкновений за 1 с. Здесь <v>- средняя арифметическая скорость. Таким образом, на пути s=<v>t за время t=1c происходит <z> число столкновений. Отсюда длина свободного пробега <λ> будет

При нормальных условиях <λ> 2 10^-7м, <z> 10⁹с^-1. Известно, что P = nkT. Поэтому при постоянной температуре T=const среднее число столкновений <z> будет пропорционально Р, а средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению <λ> ∼ 1/P. При давлениях Р<1∙10^-5 мм рт. ст. молекулы в сосуде движутся практически без столкновений друг с другом, т.е. от одной стенки сосуда до другой они пролетают, не испытывая соударений с другими молекулами.