Распределение по длинам пробега

 

Представляет интерес распределение молекул по длинам свободного пробега. Пусть w (x) – вероятность того, что молекула пролетит расстояние x, не испытав столкновения. Соответственно w (x ₁ + x ₂) является вероятностью пролететь без столкновения путь x ₁ + x ₂. Прохождение этого пути – сложное событие, оно состоит из двух независимых этапов: прохождения отрезка x ₁ без столкновения и затем отрезка x ₂ – также без столкновения. Поэтому

 

w (x ₁ + x ₂) = w (x ₁) w (x ₂). (100.1)

 

Решением этого функционального уравнения является экспонента

 

w (x) = exp(– ax). (100.2)

 

Так как вероятность пролететь некоторое расстояние без столкновения тем меньше, чем больше это расстояние, то постоянная a в выражении (100.2) положительная.

Свободный пробег является сложным событием. Он состоит из двух независимых событий – пролета без столкновения некоторого отрезка x и столкновения на отрезке x, x + dx. Поэтому вероятность данного значения длины свободного пробега x (в интервале x ¸ x + dx) будет

 

(100.3)

 

Средняя длина свободного пробега вычисляется обычным образом:

 

(100.4)

 

Таким образом, величина a является величиной, обратной средней длине свободного пробега, так что

 

(100.5)

 

Следует отметить, что в этой формуле x отсчитывается от произвольной точки, а не от места последнего соударения. Формула определяет долю частиц, пролетевших без столкновения расстояние x. Эта формула имеет значение для экспериментального определения средней длины свободного пробега молекул в газе.

Опыт (рис. 43) состоит в следующем. Сфокусированный пучок молекул пропускается сквозь газ сравнительно низкой плотности. На пути пучка ставится охлаждаемая пластинка. Молекулы пучка, пролетевшие через газ без соударения, достигают пластинки, образуя на ней осадок.

Рис. 43

По отношению числа частиц, осевших на пластинке в двух различных положениях, находится средняя длина свободного пробега этих молекул в газе:

 

(100.6)

 

Наряду с распределением по длинам пробега (100.3), можно написать с учетом соотношения x = vt распределение по временам пробега

 

(100.7)

 

где t – среднее время пробега.