Распределение по скоростям относительного движения

 

Итак, установление равновесия, теплопередача и т. д. – все эти процессы осуществляются в результате взаимодействия молекул. При этом молекулы не слишком плотных газов в некотором приближении можно считать упругими шариками. Ставится задача определения частоты их столкновения.

Если – скорости двух молекул, то для столкновения важны не сами по себе эти скорости, а скорость относительного движения молекул

 

. (98.1)

 

Из механики известно, что движение двух частиц с массами m ₁ и m ₂ можно разложить на движение их общего центра тяжести со скоростью

 

(98.2)

 

и относительное движение. Скорости частиц выражаются через скорости следующим образом:

 

(98.3)

 

Движение центра тяжести не играет роли в проблеме столкновения. А относительное движение происходит так, как если бы одна из частиц была неподвижной, а вторая имела массу, равную приведенной массе . Это следует непосредственно из законов Ньютона. Уравнения движения частиц имеют вид

 

 

(рассматривается двухчастичное столкновение). Сложение этих двух уравнений дает условие постоянства скорости центра масс:

 

 

Если уравнения движения разделить на массы частиц и вычесть затем одно из другого, то для относительного движения получится уравнение

 

или

 

В системе отсчета, связанной с какой-либо молекулой, движение остальных молекул хаотично, и следует ожидать, что распределение их по относительным скоростям будет максвелловским (только вместо массы молекулы в него будет входить приведенная масса):

 

(98.4)

 

Этот результат можно получить непосредственно, вычисляя вероятность того, что первая молекула имеет скорость , а вторая – :

 

(98.5)

 

где распределения максвелловские. Молекулы имеют произвольные (независимые) скорости, поэтому при выводе (98.5) используется теорема умножения вероятностей.

Если затем перейти от независимых векторов к векторам и ввести вместо масс молекул приведенную массу то

 

(98.6)

 

Поскольку якобиан перехода равен

 

 

то рассматриваемое распределение распадается на два независимых

 

(98.7)

 

откуда следует распределение (98.4).

Формально распределение (98.4) отличается от (82.16) только массой. Поэтому для средней скорости относительного движения можно сразу же написать

 

(98.8)

 

Если массы сталкивающихся молекул одинаковы, то .